曲面

曲面的表示形式

显式曲面

(x,y,f(x,y))

譬如 \(z=\sqrt{9-x^2-y^2}\)

隐式曲面

F(x,y,z)=c

譬如 \(x^2+y^2+z^2=c\)

参数曲面

从二维到三位的映射

(u,v)→r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

三种形式的关系

显示曲面是一种特殊的参数表示

曲面切平面法向量

法向量

Ax+By+Cz=D，法向量是(A,B,C)

显示曲面

切平面

定义：设(S = {(x, y, f(x, y)), (x, y) D})为显式曲面，(D ^{2)开。设曲面(S)光滑，即函数(f)为(C}1)的。函数(f)在((x_0, y_0) D)处的线性化函数为 [z = z_0 + f_x^0(x - x_0) + f_y^0(y - y_0), (*)] 这里(z_0 = f(x_0, y_0))，((f_x^0, f_y^0) = (f_x, f_y)|_{(x_0,y_0)})。几何上方程(())代表空间(^3)中一个平面，记(P_0 = (x_0, y_0, z_0))，则(P_0 S)。我们称平面(())为曲面(S)在点(P_0)处的切平面。

法向量

\((-f_x^0,-f_y^0,1)\)

隐式曲面

切平面

定义：设 (S : F(x, y, z) = c) 为隐式曲面，正则。设 (P_0 = (x_0, y_0, z_0) S)，即 (F(x_0, y_0, z_0) = c)。函数 (F(x, y, z)) 在点 (P_0) 处的线性化函数为

(L_F(x, y, z) = F^0 + F_x^0(x - x_0) + F_y^0(y - y_0) + F_z^0(z - z_0))，

这里 (F^0, F_x^0, F_y^0, F_z^0) 分别记函数 (F, F_x, F_y, F_z) 在点 (P_0) 处取的值。线性函数 (L_F(x, y, z)) 相应的水平面为 (L_F(x, y, z) = c)，即

(F_x^0(x - x_0) + F_y^0(y - y_0) + F_z^0(z - z_0) = 0)，(*)

称平面 (*) 为曲面 (S) 在点 (P_0) 处的切平面。注意 (F^0 = F(P_0) = c)。

法向量

\((F_x^0,F_y^0,F_z^0)\)

空间曲线

切线方程

记 (r(t_0) = (x(t_0), y(t_0), z(t_0)) = (x_0, y_0, z_0))，(s = t - t_0)，则上述切线方程有如下的分量形式

( \[\begin{cases} x = x_0 + x^{\prime}(t_0)s, \\ y = y_0 + y^{\prime}(t_0)s, \\ z = z_0 + z^{\prime}(t_0)s. \end{cases}\]

)

上式为切线的参数方程. 对应的标准方程为

( = = )

这个直线的方向向量是\((x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))\)

切线方程

法平面

曲面交线

切线

设曲线C是两个曲面的交线，且这两个曲面均为隐式曲面\(S_1 : F(x, y, z) = 0\)和\(S_2 : G(x, y, z) = 0\)，这里函数F, G假设在开区域\(D \subset \mathbb{R}^3\)上是\(C^1\)的。设\(P_0 = (x_0, y_0, z_0) \in C = S_1 \cap S_2\)是曲线C上的一点。考虑曲线C在点\(P_0\)处的切线方程。假设\(r(t) = (x(t), y(t), z(t))\)为曲线C的正则表示，记\((x_0, y_0, z_0) = (x(t_0), y(t_0), z(t_0)) = r(t_0)\)。由于曲线C位于曲面\(S_1\)上，故 \(F(x(t), y(t), z(t)) \equiv 0\) 对这个等式求导，并令\(t = t_0\)得\(F_x^0x'(t_0) + F_y^0y'(t_0) + F_z^0z'(t_0) = 0\)。这说明曲线C在点\(P_0\)处的切线 \(\frac{x - x_0}{x'(t_0)} = \frac{y - y_0}{y'(t_0)} = \frac{z - z_0}{z'(t_0)}\) 位于如下曲面\(S_1\)在点\((x_0, y_0, z_0)\)处的切平面上 \(F_x^0(x - x_0) + F_y^0(y - y_0) + F_z^0(z - z_0) = 0\) 同理切线也位于曲面\(S_2 : G(x, y, z) = 0\)在点\(P_0\)处的切平面 \(G_x^0(x - x_0) + G_y^0(y - y_0) + G_z^0(z - z_0) = 0\) 上。因此曲线C在点\(P_0\)处的切线可表示为这两个切平面的交线，即 \(\begin{cases} F_x^0(x - x_0) + F_y^0(y - y_0) + F_z^0(z - z_0) = 0 \\ G_x^0(x - x_0) + G_y^0(y - y_0) + G_z^0(z - z_0) = 0 \end{cases}\) 这里自然应假设\(\nabla F^0 \times \nabla G^0 \neq 0\)。

例子

例子

例：求曲线C \(\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 6 \\ z - x^2 - y^2 = 0 \end{cases}\) 在点\(P_0 = (1, 1, 2)\)处的切线方程。

解：记\(F(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 6\)，\(G(x, y, z) = z - x^2 - y^2\)。简单计算得 \(\nabla F = (2x, 2y, 2z)\)，\(\nabla F^0 = (2, 2, 4)\) \(\nabla G = (-2x, -2y, 1)\)，\(\nabla G^0 = (-2, -2, 1)\)

于是所求的切线方程为 \(\begin{cases} 2(x - 1) + 2(y - 1) + 4(z - 2) = 0 \\ -2(x - 1) - 2(y - 1) + (z - 2) = 0 \end{cases}\)

化简得 \(\begin{cases} x + y + 2z = 6 \\ 2x + 2y - z = 2 \end{cases}\)

注意 \(\nabla F^0 \times \nabla G^0 = (2, 2, 4) \times (-2, -2, 1) = (10, -10, 0) \neq 0\)

例子完毕。

条件极值

定理: 考虑条件极值问题 [ \[\begin{cases} \min(\max) \quad f(x_1,\cdots,x_n), \\ \text{s.t.} \quad g(x_1,\cdots,x_n) = k, \end{cases}\]

] 其中(f, g: ^n )均为(C^1)函数，()开，并设当(g(x)=k)时，(g(x))。

若点(x_0 )是问题的解，则存在常数(_0)，使得(f(x_0)=_0g(x_0))。