数学准备
行列式
正常运算 Cramer's law
矢量的合成与分解
\(\vec{A}\)
\(\vec{a}\)=\(\frac{\vec{A}}{A}\)方向矢量（长度为1）
标量与矢量的乘积
平行四边形法则
矢量的正交分解
\(\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}\)
i j k分别对应x y z
k维空间
一维空间：
前后有一对可以延展的方向
可以开放（没有尽头）也可以闭合（圈）
二维空间：
前后左右有两对可以延展的方向
有平直&弯曲之别
三维空间：
前后左右上下三对可延展的方向
有平直&弯曲之别
k维空间：
k对互相垂直可延展的方向
矢量标积（点乘）
应用：功
矢量的失积（叉乘）
\(\vec{A}\times\vec{B}=\vec{C}\) \(C=AB\sin\theta\) C的大小：平行四边形法则中平行四边形的面积
\(\vec{C}的方向\)
右手系规定:
右手框架:拇指指向\(\vec{A}\)的方向，食指指向\(\vec{B}\)的方向，中指的方向是\(\vec{C}\)
右手螺旋：四指指向\(\vec{A}\)的方向，握向\(\vec{B}\)的方向，拇指的方向是\(\vec{C}\)
左手系规定与之类似
基本性质
\(\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}\)
\((k\vec{A})\times\vec{B}=k(\vec{A}\times\vec{B})\)
分配律、结合律
\(\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=0\)
\(\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}\)
\(\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}\)
\(\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}\)
\(\vec{A}\times\vec{B}=\) \(\begin{vmatrix}\vec{i} & A_x & B_x \\\vec{j} &A_y & B_y \\\vec{k}& A_z & B_z\end{vmatrix}\)
应用：安培力，洛伦兹力 可以证明：任意一个单连通闭合电流回路在匀强磁场中所受（合）安培力为零。 \(\vec{F}=\sum I\Delta l B=I \sum (\Delta l) B\) 闭合回路，\(\sum (\Delta l)=0\)
矢量的三重积
三重标积
\(\vec{A}\cdot (\vec{B}\times\vec{C})=\vec{A}\vec{B}\vec{C}围成的平行六面体的体积\)
\(\vec{A}\vec{B}\vec{C}\)共面则有\(\vec{A}\cdot (\vec{B}\times\vec{C})=0\)
\(\vec{A}\cdot (\vec{B}\times\vec{C})=\begin{vmatrix} A_x & B_x & C_x\\\ A_y & B_y&C_y \\\ A_z & B_z & C_z\end{vmatrix}\)
性质：\(\vec{A}\cdot (\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\cdot (\vec{C}\times\vec{A})=\vec{C}\cdot (\vec{A}\times\vec{B})\)
三重矢积
\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{D}\) 注意到\(\vec{D}\)一定在\(\vec{B}\vec{C}\)确定的平面内
所以\(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\alpha\vec{V}+\beta\vec{C}\) 其中\(\alpha=\vec{A}\cdot \vec{C}\) \(\beta=-\vec{A} \cdot \vec{B}\)
记忆：ACB,BAC 换顺序即可
微积分
几个重要极限
把dx看作x趋于0
cosdx=1
sindx=tandx=dx
Ax+bdx=Ax
\((1+dx)^{\frac{1}{dx}}=e=2.71828\)
微商（导数）
定义：函数的微分与自变量微分构成的商运算
泰勒
\(e^{ix}=1+ix-\frac{1}{2!}x^{2}-\frac{i}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+...\)
\(e^{ix}=cosx+isinx\)
矢量的微商
\(\vec{A}(t)=A_x(t)\vec{i}+A_y(t)\vec{j}+A_z\vec{k}\)
整体式 \(d\vec{A}=\vec{A}(t+dt)-\vec{A}(t)\)
分解式 \(\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{dAx}{dt}\vec{i}+\frac{dAy}{dt}\vec{j}+\frac{dAz}{dt}\vec{k}\)
圆的渐开线运动——更加适合用整体式解法
将一个圆轴固定在一个平面上,轴上缠线,拉紧一个线头,让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切,那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐开线。
用小量近似，\(\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt},d\vec{v}指向切点,大小为v_0d\theta\)
可以推导出：\(\vec{a}=\frac{d\theta}{dt}v_0=\omega v_0=\frac{v_0}{l}v_0\)
标积矢积的微商
已知\(\vec{A}(t)\vec{B}(t)\)
\((\vec{A}\cdot\vec{B})'=\frac{d\vec{A}}{dt}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot \frac{d\vec{B}}{dt}\)
\((\vec{A}\times\vec{B})'=\frac{d\vec{A}}{dt}\times\vec{B}+\vec{A}\times \frac{d\vec{B}}{dt}\)
积分
面积、弧长公式
例子：一个圆盘，面积密度\(\rho=\frac{dm}{ds}是常量,以\omega的角速度转动,求总动能\)
取一个小圆环 \(dm=\rho(2\pi rdr),v=\omega r,dE_k=\frac{1}{2}(dm)v^2=\pi\rho\omega^2 r^3 dr\)
总动能即从0到R积分得，\(\frac{1}{4}\pi\rho\omega^2R^4\)
引入:\(M=\rho \pi R^2,I=\frac{1}{2}MR^2得E_k=\frac{1}{2}I\omega^2\)
例子:细杆滑下去
找包络线
偏微商（偏导）
\(y(x_1,x_2,...,x_k)\)变化到\(y(x_1+dx,x_2,...,x_k)\)
偏微商 \(\frac{y(x_1+dx,x_2,...,x_k)-y(x_1,x_2,...,x_k)}{dx_1}\)=\(\frac{\partial y}{\partial x_1}\)
函数因为各自变量变化引起的变化量：全微分\(dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}dx_1+...+\frac{\partial y}{\partial x_k}dx_k\)
例子:理想气体状态方程 pV=nRT T=\(\frac{PV}{nR}\)
\(\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{nR}\)
\(\frac{\partial T}{\partial V}=\frac{p}{nR}\)
\(代入后知道：pdv+vdp=nRdT\)
多元函数的积分
三维空间
标量函数:\(\phi(\vec{r})=\phi(x,y,z)\)
实例：静电场的电势 \(U=U(\vec{r})\)
矢量函数:\(\vec{A}(vec{r})=\vec{A}(x,y,z)\)
实例：静电场场强 \(\vec{E}=\vec{E}(\vec{r})\)
标量函数线积分
\(\int_L\phi(\vec{r})dl若\phi=1，则该积分为l\)
特例:L为闭合曲线
\(\oint_L\phi(\vec{r})dl\)
矢量函数线积分
\(\int_L\vec{A}d\vec{l}\)
实例：做功
\(dw=\vec{F}\cdot\vec{dl}\)
特例:闭合曲线，给定一个循环的方向\(\oint_L\vec{A}\vec{dl}\)
实例：保守力
标量函数的面积分
ds:面元面积
每一条从左到右积分，再把条和条之间从上到下积分
\(\iint_s\phi(\vec{r})dS\) 二重积分
特例：如果是闭合曲面，则\(\oiint_s\phi(\vec{r})ds\)
矢量函数的面积分
\(\vec{ds}=ds\vec{n}\) 面元矢量
\(\iint_s\vec{A}\vec{ds}\)
实例：如果\(\vec{A}是磁感应强度\vec{B},那么这个积分表示通过这个面的磁通量\)
特例: S是一个闭合曲面
\(\oiint_s\vec{A}\vec{ds}\)
例如:\(\oiint \vec{B}\vec{ds}=0\)
标量函数体积分
\(\iiint_v\phi(\vec{r})dV\)