振动与波
运动学内容
以下讨论简谐振动
运动方程
首先考虑一个匀速圆周运动的直径分运动，把这个分运动称为简谐振动
\(x=Rcos(\omega t+\phi)\)
\(v_x=-\omega Rsin(\omega t+\phi)\)
\(a_x=-\omega^2 R cos(\omega t+\phi)\)
注意简谐振动可以写成\(x''+\omega^2 x=0\)的微分方程
将R换成A（振幅取正）
\(\omega\) 角频率
\(\nu=\frac{\omega}{2\phi}\) 频率
\(T=\frac{1}{\nu}=\frac{2\phi}{\omega}\) 周期
\(\omega t+\phi\)称为t时刻振动的相位
\(\phi\) 初相
运动合成
同方向，同频率
\(x_1=A_1cos(\omega t+\phi_1)\)
\(x_2=A_2cos(\omega t+\phi_2)\)
直接相加即可：\(x=x_1+x_2=Acos(\omega t+\phi)\)
\(A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\phi_2-\phi_1)}\)
\(tan\phi=\frac{A_1sin\phi_1+A_2sin\phi_2}{A_1cos\phi_1+A_2cos\phi_2}\)
若\(\phi_2-\phi_1=2k\pi\) 则\(A=A_1+A_2\) 取得最大值
若\(\phi_2-\phi_1=(2k+1)\pi\) 则\(A=|A_1-A_2|\) 取得最小值
方向振幅初相同，不同频率
\(x_1=Acos(\omega_1t+\phi)\)
\(x_2=Acos(\omega_2t+\phi)\)
\(x=x_1+x_2=2Acos(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t)cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\phi)\)这不是简谐振动
\(cos(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t)\) 可以看成对“振幅”的描述
\(cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\phi)\)可以看成简谐振动
引入\(\nu_1=\frac{\omega_1}{2\pi}\)和\(\nu_2=\frac{\omega_2}{2\pi}\)
“振幅”绝对值变化的周期频率,也是振幅平方的变化频率，即振动强度的变化频率
\(\nu=2\cdot|\frac{\nu_1-\nu_2}{2}|=|\nu_1-\nu_2|\) 把这个频率称之为拍频率
垂直方向同频率
合成出来的可能性：圆、正/斜椭圆、直线段
一般的情况
\(x=A_xcos(\omega t+\phi_x)\)
\(y=A_ycos(\omega t+\phi_y)\)
\(\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，这个就是运动轨迹
\(\frac{x^2}{A_x^2}+\frac{y^2}{A_y^2}-\frac{2}{A_xA_y}cos(\phi_x-\phi_y)=sin^2(\phi_x-\phi_y)\)
一般的运动轨迹是斜椭圆
正椭圆
如果\(\phi_x-\phi_y=(k+\frac{1}{2}\pi)\)
则\(\frac{x^2}{A_x^2}+\frac{y^2}{A_y^2}=1\)，正椭圆
如果k=0或者k是一个偶数
这时x振动比y振动超前了\(\frac{\pi}{2}\),分别画出xy坐标与时间的关系，不难看出是逆时针旋转
如果k=-1（或者k是一个奇数）
这时y振动比x振动超前了\(\frac{\pi}{2}\),分别画出xy坐标与时间的关系，不难看出是顺时针旋转
线
垂直方向不同频率
非简谐振动的简谐分解
振动分为有周期T（T为有限量）和没有周期的。比如阻尼振动就没有周期。
有周期的振动
x(t+T)=x(t) 数学上有傅里叶级数展开
矢量表述
\(x=Acos(\omega t+\phi)\) 用圆周运动分运动来表述简谐运动，我们约定只画出t=0时的位置矢量，来进行简化。
\(x(t)=\vec{A}(t)\cdot\vec{i}\) 注意\(\vec{i}\)是x轴方向向量
\(x_1=A_1cos(\omega t+\phi_1)\)
\(x_2=A_2cos(\omega t+\phi_2)\)
\(x=x_1+x_2=(\vec{A_1}(t)+\vec{A_2}(t))\cdot\vec{i}\)
引入\(\vec{A}=\vec{A_1}+\vec{A_2}\)
因为旋转角速度相同，所以可以用这种叠加代表任意时刻的
复数表述
\(x=Acos(\omega t+\phi)\)
\(y=Asin(\omega t+\phi)\)
y轴虚轴，x轴实轴
转化成一个复数\(A'(t)=x(t)+iy(t)\)
利用欧拉公式我们可以把它表述为复振动\(Ae^{i(\omega t+\phi)}\)，实部是真实振动
对\(A'(t)\)求导得\(i\omega Ae^{i(\omega t+\phi)}\)发现实部就是真是振动的导函数
动力学内容
动力学方程
回顾运动学内容：
匀速圆周运动，x直径方向分运动的运动方程\(x=Acos(\omega t+\phi)\)
两边对t求二阶导，知道\(x''+\omega^2x=0\)
动力学考查：
\(F_x=\vec{F}\cdot\vec{i}=-m\omega^2\vec{r}\cdot\vec{i}=-m\omega^2x\)
我们把\(F_x\)写成mx''代入上面的等式，同样也可以得到动力学微分方程\(x''+\omega^2x=0\)
简谐运动的通解是\(x=Acos(\omega t+\phi)\) A和\(\phi\) 由初始条件所确定
\(x_0=Acos(\phi)\)
\(v_0=-\omega Asin\phi\)
\(A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}\)
\(tan\phi=\frac{-v_0}{\omega x_0}\)
若\(tan\phi>0\), \(\phi\)可以在第一或第三象限
若\(tan\phi<0\), \(\phi\)可以在第二或第四象限
接下来可以利用\(x_0,v_0\)协助判定在第几象限
水平弹簧振子
劲度系数k，物体质量m。\(F_x=-kx=mx''\)
得出微分方程\(x''+\frac{k}{m}x=0\)
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\) 具有动力学性质
\(\omega=\frac{2\pi}{T}\) 运动学性质
复摆
逆时针旋转为正方向，写出角动量定理：
\(M=I_o\beta\)
\(M=-mgsin\theta l_{oc}\) 负数，因为力矩方向指向纸面内
代入之后写出微分方程：\(\theta''+\frac{mgl_{oc}}{I_0}sin\theta\)
考虑小量近似\(sin\theta近似为\theta\)
于是\(\theta''+\omega^2\theta=0\)
\(\omega=\sqrt{\frac{mgl_{oc}}{I_0}}\)
与简谐振动数学上同构，因此\(\theta=\theta_0cos(\omega t+\phi)\)
特例：单摆
质量全集中在质心上就是单摆，此时\(I_o=ml_{oc}^2\)
此时\(\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}\)
振动的能量
\(x=Acos(\omega t+\phi)\)
\(E_k=\frac{1}{2}m\omega^2A^2sin^2(\omega t+\phi)\)
\(E_p=\frac{1}{2}kx^2\)
可以看出\(E_p+E_k=\frac{1}{2}kA^2=E\)
简谐运动中E守恒：可以通过能量守恒求导后获得动力学微分方程
例子：复摆
\(E=E_k+E_p=\frac{1}{2}I_0\theta'^2+mgl_{OC}(1-ccos\theta)\)（注意，是\(\theta\)的导数）
两边求导，E守恒，因此左边为0
\(0=I_0\theta'\theta''+mgl_{oc}sin\theta \theta'\)
同样可以得到复摆动力学微分方程\(\theta''+\frac{mgl_{oc}}{I_0}sin\theta=0\)
保守力与势能
\(-dE_p=\vec{F}\cdot\vec{dl}\)
\(dE_p=\frac{\partial E_p}{\partial x}dx+\frac{\partial E_p}{\partial y}dy+\frac{\partial E_p}{\partial z}dz\)
\(\vec{F}\cdot\vec{dl}=F_xdx+F_ydy+F_zdz\)
\(-dE_p=\vec{F}\cdot\vec{dl}\)
于是\(F_x=-\frac{\partial E_p}{dx}\),\(F_y=-\frac{\partial E_p}{dy}\),\(F_z=-\frac{\partial E_p}{dz}\)
于是\(\vec{F}=-(\frac{\partial}{dx}\vec{i}+\frac{\partial}{dy}\vec{j}+\frac{\partial}{dz}\vec{k})E_p\)
引出哈密顿算符\(\nabla\)
\(\vec{F}=-\nabla E_p\)
把\(\nabla E_p\)成为\(E_p\)的梯度
阻尼振动
定义：除了恢复性的保守力（不损耗能量）之外，还有一个阻尼力（损耗能量），动能逐渐减小，有衰减现象，形成阻尼振动。
取\(F_x=-kx\),\(f_x=-\gamma x'\)
\(mx''=-kx-\gamma x'\)
\(x''+\frac{\gamma}{m}x'+\frac{k}{m}x=0\)
\(x''+2\beta x'+\omega_0^2x=0\)
\(\beta=\frac{\gamma}{2m}\) 阻尼系数
\(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\) 本征/固有频率
三种解的情况
按照微分方程特征值正常讨论
（1）\(\beta>\omega_0\) 过阻尼
(2)\(\beta=\omega_0\) 临界阻尼
(3)\(\beta<\omega_0\) 低阻尼
\(x=Ae^{-\beta t}cos(\omega t+\phi)\)
\(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\)
振动无周期，“振幅”随时间衰减
引入对数缩减\(\lambda\)
受迫振动
恢复性保守力+阻尼力+周期性变化的外力（策动力）
\(F_x=-kx\),\(f_x=-\gamma x'\),$F=F_0cost $
微分方程可以写出：
\(mx''+\gamma x'+\beta x=F_0cos\omega t\)
\(x''+2\beta x'+\omega_0^2 x=f_0 cos \omega t\)
\(\beta=\frac{\gamma}{2m}\) 阻尼系数
\(\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\) 本征/固有频率
\(f_0=\frac{F_0}{m}\)
微分方程找特殊解常常可以考虑\(x*=Acos(\omega t+\phi)\),\(A=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)+4\beta^2\omega^2}}\)
\(tan\phi=\frac{-2\beta \omega }{\omega_0^2-\omega^2}\)
三种解的情况
与阻尼振动的情况类似
低阻尼情况
\(x=e^{-\beta t}cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}+\phi_0)+Acos(\omega t+\phi)\) 暂态解
\(Acos(\omega t+\phi)\) 稳态解，与初始状态无关
共振现象
条件：必须在低阻尼情况下讨论
给定\(\beta\) 讨论A与\(\omega\)的关系
当 \(\beta <\frac{\omega_0}{\sqrt{2}}\) 会出现振幅共振现象，即外加频率=固有频率时，振幅最大
习题
题1
\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)
\(t=\frac{T}{4}\)
\(h+\Delta l=\frac{1}{2}gt^2\)
算出\(h=(\frac{\pi^2}{8}-1)\frac{M}{k}g\)
碰后粘连，讨论其后的运动
\(v_0=\frac{1}{2}(gt+\omega \Delta l)\) 注意，这个\(\Delta l\)也是振幅
因此\(v_0=\frac{1}{2}(1+\frac{\pi}{2})\sqrt{\frac{M}{k}}g\)
把碰上的时刻看成t=0时刻。新的力平衡位置要再下移\(\Delta l\)
建立向下的坐标，取新的平衡位置为坐标原点，取向下为正方向
\(y=Acos(\omega't+\phi)\)
\(\omega'=\sqrt{\frac{k}{2M}}\)
t=0时，\(y_0=-\Delta l\)
用公式\(A=\sqrt{y_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{2}(1+\frac{\pi}{2})^2}\sqrt{\frac{M}{k}}g\)
A大约2.07\(\frac{Mg}{k}>2\frac{Mg}{k}\) 因此并不是纯粹的简谐振动
\(tan\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\frac{\pi}{2})>0\)
又由于\(y_0=Acos\phi\)是负的，可以确定\(\phi\)是第三象限
\(\phi=\pi+arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\frac{\pi}{2}))\)
题2
重点：碰之后B和B'的质心匀速直线运动，B相对于质心简谐运动
题3
纯滚动，静摩擦力做功为零，因此机械能守恒
\(E=\frac{1}{2}mv_c^2+\frac{1}{2}I_c+mg(R-r)(1-cos\theta)\)
\(v_c=(R-r)\theta '\)
\(\phi'=(\frac{R}{r}-1)\theta\)
把方程两边对t求导，并取小角度近似\(sin\theta=\theta\)
\(\theta''+\frac{5g}{7(R-r)}\theta=0\)