多元函数的微分

计算内容

求极限：二重极限，累次极限

函数连续性、可微性的判断

全微分计算

方向导数的计算

二重极限

考查函数的连续性计算的就是二重极限，二重极限可以理解为x,y两个变量同时趋于某一点。当然，趋于某一点的路径是随意的。在证伪时，路径的多样性是一个很好的工具。

存在

放缩

此方法适用于证明/求解极限为0者。最终利用的是$$,或者是x→0且y→0

均值不等式

$$

$$

趋于0，证毕

中值定理

$$在(0,0)处的极限是否存在？

$$ 注意$$

$$

趋于0，证毕

分离绝对值或平方

上面的两道例题也用了这个方法，我们可以各提取出一个x,y的平方或者绝对值，然后把剩下的直接放大到1

设 [ f(x, y)= $$

] 证明函数 $$ 在原点 $$ 处连续。

[ $$ ]

因此当 $$ 充分小时，$$ 可以任意小。故 $$。这就证明了函数 $$ 在原点 $$ 处连续。命题得证。

整体看

$$

直接xy=u，泰勒即可，答案三分之一

分而治之

$$

$$ 如此拆分指数部分即可

得出最终的极限为$$

不存在

两种思想。要么找一条特殊路径让极限不存在，要么找俩路径极限存在但不等。

正比例函数

此方法适用于否定齐次函数的极限

eg.$$

从y=kx趋近，极限为$$，取不同的k极限存在但不相等。

二次函数

这个适用的类型类似于上面的齐次函数

$$

取$$趋近，则极限为$$

累次极限

对于二元的就是二次极限，每一次求极限都只取一个变量，剩下是常量。当然，只有前一个极限存在才能继续算下一个。

例子

设 $$，其定义域为 $$。之前已证，函数 $$ 在点 $$ 处的全面极限不存在。现考察累次极限。不难证明

$$ $$

累次极限与重极限

定理：

1. 若以下三个极限均存在 $$ 则它们的极限值均相等；

2. 若两个累次极限存在，但极限值不等，则重极限不存在。

可微与偏导

定义：记二元函数 $$ 定义域为 $$，设点 $$ 是 $$ 的一个内点。若存在两个数 $$，使得对 $$， [ f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - (h + k) = o(), ] 则称函数 $$ 在点 $$ 处可微，并称线性函数 $$ 为 $$ 在点 $$ 处的微分，记作 $$。自变量 $$ 的增量 $$ 常写作 $$。故微分常写作 $$。

微分是唯一的,也就是说$$是唯一的。其中$$ $$

可微→

如果一个函数在某一点可微，那么.....?

1、函数在这一点连续

2、在这一点沿着任意方向的方向导数均存在，当然偏导数也存在。

（偏导数不存在一定不可微）

注意:偏导数存在不能推出连续，更不能推出可微。

考虑函数 [ f(x, y)= $$

] 显然函数 $$ 在原点处不连续。但 $$ 在原点的两个偏导数存在。因为 [ ==0, x ] 这说明偏导数 $$ 存在，且 $$。同理可证偏导数 $$ 存在，且 $$。

判断是否可微

首先看偏导是否存在，偏导数不存在就不可微。

然后计算[_{→0} ]

$$

高阶偏导

n阶偏导有$$个高阶偏导。感觉高阶偏导和累次极限有点像。

$$

$$

Clairaut定理

设$$在开区域$$上定义。假设两个二阶混合偏导数$$和$$在$$上处处存在，且在点$$处均连续，则$$。

证明思路大概是累次极限+中值定理，最后利用连续性。

Clairaut定理断言，如果

1. 两个混合偏导数 $$ 在开区域 $$ 上存在；

2. $$ 和 $$ 在点 $$ 处均连续

则 $$。

条件 (ii) 可减弱为 (ii)' $$ 或 $$ 在点 $$ 处连续。

$$≠$$

(课本第40页例1.4.16.) 设 [ f(x, y)= $$

]

考虑 (f(x, y)) 的两个二阶混合偏导数 (f_{xy}) 和 (f_{yx})。判断 (f_{xy}(0, 0)) 和 (f_{yx}(0, 0)) 是否存在。存在时求出它们的值。

解答：

在开区域 (^2{(0, 0)}) 上，(f(x, y)) 是分式函数，故它的各阶偏导数均连续。计算得它的一阶和二阶混合偏导数如下 [ f_x(x, y)=, f_y(x, y)=, ] [ f_{xy}(x, y)= = f_{yx}(x, y). ]

不难看出 (f_{xy}, f_{yx}) 在点 ((0,0)) 处的极限都不存在. (因为它们沿着两个坐标轴趋于 ((0,0)) 时有极限 (1) 和 (-1).) 因此二阶混合偏导在点 ((0,0)) 处均不连续.

！但这并不表明 (f_{xy}(0, 0), f_{yx}(0, 0)) 不存在！

以下考虑它们的存在性与计算. 由于 [ ==0 , (x ). ] 故 (f_x(0,0)) 存在且 (f_x(0,0)=0). 同理可证 (f_y(0,0)) 存在且 (f_y(0,0)=0). 由于 [ ==-1 , (y ), ] 这说明 (f_{xy}(0,0)) 存在且 (f_{xy}(0,0)= -1). 类似地, 由于 [ ==1 , (x ), ] 故 (f_{yx}(0,0)) 存在, 且 (f_{yx}(0,0)= 1 = f_{xy}(0,0)). 解答完毕.

方向导数

定义

f(x,y)的定义域包含点$$=$$的一个领域，u=(a,b)为一个单位向量，往下称单位向量u为一个方向。若极限$$存在，则称之为函数f再点$$处沿着方向u的导数。

记作$$或者$$

几何意义

偏导数就是一种特殊的方向导数

美妙的几何意义

计算

偏导数=梯度与方向的内积

$$

$$

注意这里求梯度代入的点就是趋近于的点

梯度的性质

1. 常数函数的梯度为零，即 $$；

2. $$，$$ 为常数；

3. $$；

4. $$；

5. $$，$$；

6. $$，这里 $$ 为一元可微函数。

最值

定理：设函数 $$ 在点 $$ 处可微，且 $$，则函数 $$ 沿着梯度方向 $$ 可取得方向导数的最大值，且最大值为 $$；沿负梯度方向 $$ 取得方向导数值最小值且最小值为 $$。

证明很简单，两个向量的内积同方向达到最大，反向则最小。

例题

设 $$。

1. 求函数在点 $$ 处，沿着方向 $$ 的方向导数，这里 $$；

2. 求函数在点 $$ 处的方向导数的最大值。

简单计算得 $$，$$。

1. 计算 $$，其单位向量为 $$。

故函数在点 $$ 处沿着方向 $$ 的方向导数为 $$

2. 由定理知，函数在点 $$ 处沿着梯度方向 $$ 的方向导数可取得最大值 $$。图示如下。

红色的线的水平线

水平线（补充）

定义：对二元函数 $$，称集合 $$ 为函数 $$ 的水平线，或简单地说 $$ 是水平线，这里 $$，$$ 是函数 $$ 的定义域。

例：考虑函数 $$。对于任意正数 $$，水平线 $$ 为椭圆，其标准形式为

$$

两个半轴的长度分别为 $$，$$。函数图像及其水平线如下。

对于二元函数是水平线，如果推广到三元就是水平面了。

Jacobian 矩阵

设 ( f = (f_1, , f_m) ): ( D ^n ^m ) 为向量值函数，( D ) 为开集，( x_0 D )，则：

1. ( f ) 在点 ( x_0 ) 处可微 () 每个分量函数 ( f_i ) 在点 ( x_0 ) 处可微；
2. 当 ( f ) 在点 ( x_0 ) 处可微时，( f'(x_0) ) 可表示为：

[ f'(x_0) = $$

_{x_0} ]

上述矩阵 ( f'(x_0) ) 称为映射 ( f ) 在点 ( x_0 ) 处的 Jacobian 矩阵。当 ( m = n ) 时，Jacobian 矩阵是方阵，其行列式称为 Jacobian 行列式。

例子

称二维映射 ( F: ^2 ^2 )， [ (r, ) (r, r) ] 为极坐标映射，其中： [ = {(r, ) r > 0, (0, 2) }. ] 映射在点 ( (r, ) ) 处的 Jacobian 矩阵 为：

[ DF(r, ) = $$

, ]

注：$$是$$对x求导，$$是$$对$$求导。

$$

其 Jacobian 行列式 为： [ DF(r, ) = r > 0. ]

锁链规则

二元函数

定理：设二元函数$$，以及两个一元函数$$均可微，$$，且它们可以复合，则复合函数$$也可微，且 [ [f(x(t), y(t))]' = f_x(x, y)x'(t) + f_y(x, y)y'(t), ] 其中$$。

多元函数

定理：设$$元函数$$在开集$$上为$$的，映射$$是$$的，$$，且$$，这里$$为一个开区间，则复合函数$$在$$上也是$$的，且 [ [f(u_1(t), , u_n(t))]' = u_1'(t) + + u_n'(t), ] 或简写为$$，其中$$。

例题

课本第50页例1.5.4

设$$，$$，$$，求偏导数$$。

解： 记$$，则$$。根据上述定理可知 [ $$ ]

例题2

设$$在全平面$$上连续可微，且$$。

1. 若$$，求$$

2. 若$$，求$$。

注：符号$$表示偏导数$$在抛物线$$上取值，即$$。符号$$的意义类似。

解： (i) 对恒等式$$两边求导得$$。若$$，则$$。约去因子$$得$$。由此可得$$。

2. 令$$【为了构造$$】

则$$在$$上连续可微，且$$。故$$在$$上与变量$$无关，即$$，亦即$$。

由假设$$可知$$，即$$。因此$$。解答完毕。

隐函数定理IFT

二元情形

设二元函数$$在平面开集$$上是$$的。假设$$且$$，$$，则存在唯一的 (隐) 函数$$，其中$$，$$，使得

1. $$，$$，$$；

2. 对于$$，$$当且仅当$$；

3. 隐函数$$是$$的，且 [ f'(x) = -.|{y = f(x)}, x J{} ]

多元情形

设$$为$$个变量$$函数，定义域$$为开集，这里$$，$$。假设在点$$处，$$且$$，则$$以及函数$$，$$，使得

1. $$，$$，$$；

2. $$当且仅当$$，$$，这里$$；

3. $$是$$的，且$$，$$。

太长不看

隐函数问题是在探讨能不能通过方程F(x,y)=0写出来y(x)(或者x(y))。比如我们想要写出y(x),就要求每一个x有唯一的y与之对应。这样就需要F(x,y)在某一个区间内关于y单调变化，这样就可以唯一地解出来y(x)了。因此我们需要$$，即每一个x对应唯一的y(局部)。

反函数定理

这个定理很直观，函数在某个区间单调可以写出反函数。实际上它就是隐函数定理的特殊化版本。

Theorem

设$$在开区间$$上连续可微。若$$，$$，则存在$$，以及函数$$，$$，其中$$，$$，使得

1. $$；

2. 当$$和$$均充分小时，$$；

3. $$在$$连续可微，且 [ g'(y)=.|_{x = g(y)}, y J ]

Proof

证：记$$，则$$是$$的，$$，且$$。故由IFT（隐函数定理，Implicit Function Theorem）知存在$$，以及函数$$，$$，其中$$，使得 (i) $$； (ii) $$，$$，$$； (iii) 函数$$是$$的，且 [ g'(y)=-.|{x = g(y)}=.|{x = g(y)}, y J ]

定理得证。

做题的时候分两步，先找到F(x,y),然后判断需不需要用“存在隐函数”这个条件进行推导，还是说直接把隐函数看成一个“结果”。

用它作为“条件”

考虑下列方程，指出在哪些点处方程确定了隐函数$$或$$等。 $$.

$$

y=y(x)存在：$$ 恒小于0

x=x(y)存在:$$ 恒小于0

因此整个平面上都可以确定y(x)和x(y)。

看成“结果”

设$$可微，且有方程$$确定了一个可微的隐函数$$，求$$;

$$ 得出$$

类似可以解出$$，容易验证。

一般情形

设映射$$在$$上是$$的，$$且$$阶矩阵$$非奇，则存在$$，以及映射$$，使得 (i) $$； (ii) $$，$$； (iii) 对于$$，$$ 当且仅当$$； (iv) $$是$$的，且 [ D(x)=-.[D_yF(x, y)]^{-1}D_xF(x, y)|{y = (x)}, x B{}(x_0) ]

jacobian矩阵

题1

设$$， [ $$

]

不难验证，点$$是方程组$$的一个解。考虑映射$$在点$$处的Jacobian矩阵 [ $$ _{P_0}= $$

]

由于矩阵 [ .D_{(u, v)}F|_{P_0}= $$

]

注，其实这里$$,$$,$$都非奇，我们取这个是为了把(x,y)映射到(u,v).

非奇，故由IFT（隐函数定理，Implicit Function Theorem）知存在$$映射$$，$$，使得

[ $$

]

其中$$，且 [F(x, y, u(x, y), v(x, y)) , (x, y) B_{}]

进一步映射$$在点$$处的Jacobian矩阵为 [ $$ ]

注：这里可以进行联系二元情形的隐函数定理$$，分母对应y分子对应x。

题2

证明由方程组 $$ 在点$$附近，确定了两个隐函数$$，$$，$$，满足$$，$$，并且它们是$$的。求$$，$$，$$，$$。

解：记$$，$$，则 $$

计算得 $$ 由于 $$ 非奇，故根据IFT知方程组 $$ 注：关于某几个变量的Jacobian矩阵非奇，说明存在由其他的变量到这几个变量的映射。比如这道题就是z到x,y，即x(z),y(z)。上面的那一道题是x,y→u,v即u=(x,y),v=(x,y)。Jacobian矩阵非奇与偏导数不为零也有联系，比如我们想把z表示成关于x,y的函数，要求对z偏导数不为0，就是要求关于z的导数的jacobian矩阵（虽然只是一个元素）不为0 在点$$附近，确定了两个隐函数$$，$$，满足$$，$$。

由于函数 (F(x,y,z))，(G(x,y,z)) 是 (C^{}) 的，故隐函数 (x(z))，(y(z)) 也是 (C^{}) 的。以下求 (x^{}(2))，(y{}(2))。对恒等式

( $$ ) 即 ( $$

)

求导得

( $$

)

令 (z = 2)，并注意到 (x(2) = 1)，(y(2) = -1) 得

( $$

)

易解得 (x^{}(2) = 0)，(y^{}(2) = -1)。为求 (x^{}(2))，(y{}(2))，我们需要对恒等式

( $$

)

再次求导得

( $$

)

令 (z = 2)，并注意 (x(2) = 1)，(y(2) = -1)，(x^{}(2) = 0)，(y^{}(2) = -1) 得

( $$ ) 即 ( $$

)

易解得 (x^{}(2) = -)，(y^{}(2) = )。解答完毕。

逆映射定理

设$$是$$映射，$$开，$$。若$$阶Jacobian矩阵$$非奇，则存在映射$$使得 (i) $$； (ii) $$，$$； (iii) $$，$$； (iv) 映射$$是$$的，且 [ Dg(y)=.[Df(x)]^{-1}|{x = g(y)}, yB{}(y_0) ]

例

极坐标变换为$$，$$，其Jacobian矩阵为 [ = $$

]

易证极坐标变换在区域$$，$$上可逆，逆变换为$$，$$的Jacobian矩阵为 [ =^{-1}= $$

]

隐函数的高阶导数

隐函数的高阶导数计算

例：设三元函数$$在开集$$上是$$的。设$$，使得$$且$$。于是由IFT知可由方程$$在点$$附近解出唯一的隐函数$$，$$，这里$$表以点$$为心，以$$为半径的开球域。进一步函数$$的偏导数可表为 $$ 如之前所提及过的，隐函数$$的光滑性同函数$$。故当$$是$$时，隐函数$$也是$$的。以下以计算二阶偏导数$$为例，来说明如何计算隐函数的高阶偏导数。由导数公式知$$。于是

$$ 类似可求其他两个二阶偏导数$$，$$。