振动与波
运动学内容
以下讨论简谐振动
运动方程
首先考虑一个匀速圆周运动的直径分运动，把这个分运动称为简谐振动
$x=Rcos(\omega t+\phi)$
$v_x=-\omega Rsin(\omega t+\phi)$
$a_x=-\omega^2 R cos(\omega t+\phi)$
注意简谐振动可以写成$x’’+\omega^2 x=0$的微分方程
将R换成A（振幅取正）
$\omega$ 角频率
$\nu=\frac{\omega}{2\phi}$ 频率
$T=\frac{1}{\nu}=\frac{2\phi}{\omega}$ 周期
$\omega t+\phi$称为t时刻振动的相位
$\phi$ 初相
运动合成
同方向，同频率
$x_1=A_1cos(\omega t+\phi_1)$
$x_2=A_2cos(\omega t+\phi_2)$
直接相加即可：$x=x_1+x_2=Acos(\omega t+\phi)$
$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(\phi_2-\phi_1)}$
$tan\phi=\frac{A_1sin\phi_1+A_2sin\phi_2}{A_1cos\phi_1+A_2cos\phi_2}$
若$\phi_2-\phi_1=2k\pi$ 则$A=A_1+A_2$ 取得最大值
若$\phi_2-\phi_1=(2k+1)\pi$ 则$A=|A_1-A_2|$ 取得最小值
方向振幅初相同，不同频率
$x_1=Acos(\omega_1t+\phi)$
$x_2=Acos(\omega_2t+\phi)$
$x=x_1+x_2=2Acos(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t)cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\phi)$这不是简谐振动
$cos(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t)$ 可以看成对“振幅”的描述
$cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\phi)$可以看成简谐振动
引入$\nu_1=\frac{\omega_1}{2\pi}$和$\nu_2=\frac{\omega_2}{2\pi}$
“振幅”绝对值变化的周期频率,也是振幅平方的变化频率，即振动强度的变化频率
$\nu=2\cdot|\frac{\nu_1-\nu_2}{2}|=|\nu_1-\nu_2|$ 把这个频率称之为拍频率
垂直方向同频率
合成出来的可能性：圆、正/斜椭圆、直线段
一般的情况
$x=A_xcos(\omega t+\phi_x)$
$y=A_ycos(\omega t+\phi_y)$
$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}$，这个就是运动轨迹
$\frac{x^2}{A_x^2}+\frac{y^2}{A_y^2}-\frac{2}{A_xA_y}cos(\phi_x-\phi_y)=sin^2(\phi_x-\phi_y)$
一般的运动轨迹是斜椭圆
正椭圆
如果$\phi_x-\phi_y=(k+\frac{1}{2}\pi)$
则$\frac{x^2}{A_x^2}+\frac{y^2}{A_y^2}=1$，正椭圆
如果k=0或者k是一个偶数
这时x振动比y振动超前了$\frac{\pi}{2}$,分别画出xy坐标与时间的关系，不难看出是逆时针旋转
如果k=-1（或者k是一个奇数）
这时y振动比x振动超前了$\frac{\pi}{2}$,分别画出xy坐标与时间的关系，不难看出是顺时针旋转
线
垂直方向不同频率
非简谐振动的简谐分解
振动分为有周期T（T为有限量）和没有周期的。比如阻尼振动就没有周期。
有周期的振动
x(t+T)=x(t) 数学上有傅里叶级数展开
矢量表述
$x=Acos(\omega t+\phi)$ 用圆周运动分运动来表述简谐运动，我们约定只画出t=0时的位置矢量，来进行简化。
$x(t)=\vec{A}(t)\cdot\vec{i}$ 注意$\vec{i}$是x轴方向向量
$x_1=A_1cos(\omega t+\phi_1)$
$x_2=A_2cos(\omega t+\phi_2)$
$x=x_1+x_2=(\vec{A_1}(t)+\vec{A_2}(t))\cdot\vec{i}$
引入$\vec{A}=\vec{A_1}+\vec{A_2}$
因为旋转角速度相同，所以可以用这种叠加代表任意时刻的
复数表述
$x=Acos(\omega t+\phi)$
$y=Asin(\omega t+\phi)$
y轴虚轴，x轴实轴
转化成一个复数$A’(t)=x(t)+iy(t)$
利用欧拉公式我们可以把它表述为复振动$Ae^{i(\omega t+\phi)}$，实部是真实振动
对$A’(t)$求导得$i\omega Ae^{i(\omega t+\phi)}$发现实部就是真是振动的导函数
动力学内容
动力学方程
回顾运动学内容：
匀速圆周运动，x直径方向分运动的运动方程$x=Acos(\omega t+\phi)$
两边对t求二阶导，知道$x’’+\omega^2x=0$
动力学考查：
$F_x=\vec{F}\cdot\vec{i}=-m\omega^2\vec{r}\cdot\vec{i}=-m\omega^2x$
我们把$F_x$写成mx’’代入上面的等式，同样也可以得到动力学微分方程$x’’+\omega^2x=0$
简谐运动的通解是$x=Acos(\omega t+\phi)$ A和$\phi$ 由初始条件所确定
$x_0=Acos(\phi)$
$v_0=-\omega Asin\phi$
$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}$
$tan\phi=\frac{-v_0}{\omega x_0}$
若$tan\phi>0$, $\phi$可以在第一或第三象限
若$tan\phi<0$, $\phi$可以在第二或第四象限
接下来可以利用$x_0,v_0$协助判定在第几象限
水平弹簧振子
劲度系数k，物体质量m。$F_x=-kx=mx’’$
得出微分方程$x’’+\frac{k}{m}x=0$
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 具有动力学性质
$\omega=\frac{2\pi}{T}$ 运动学性质
复摆
逆时针旋转为正方向，写出角动量定理：
$M=I_o\beta$
$M=-mgsin\theta l_{oc}$ 负数，因为力矩方向指向纸面内
代入之后写出微分方程：$\theta’’+\frac{mgl_{oc}}{I_0}sin\theta$
考虑小量近似$sin\theta近似为\theta$
于是$\theta’’+\omega^2\theta=0$
$\omega=\sqrt{\frac{mgl_{oc}}{I_0}}$
与简谐振动数学上同构，因此$\theta=\theta_0cos(\omega t+\phi)$
特例：单摆
质量全集中在质心上就是单摆，此时$Io=ml{oc}^2$
此时$\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$
振动的能量
$x=Acos(\omega t+\phi)$
$E_k=\frac{1}{2}m\omega^2A^2sin^2(\omega t+\phi)$
$E_p=\frac{1}{2}kx^2$
可以看出$E_p+E_k=\frac{1}{2}kA^2=E$
简谐运动中E守恒：可以通过能量守恒求导后获得动力学微分方程
例子：复摆
$E=Ek+E_p=\frac{1}{2}I_0\theta’^2+mgl{OC}(1-ccos\theta)$（注意，是$\theta$的导数）
两边求导，E守恒，因此左边为0
$0=I0\theta’\theta’’+mgl{oc}sin\theta \theta’$
同样可以得到复摆动力学微分方程$\theta’’+\frac{mgl_{oc}}{I_0}sin\theta=0$
保守力与势能
$-dE_p=\vec{F}\cdot\vec{dl}$
$dE_p=\frac{\partial E_p}{\partial x}dx+\frac{\partial E_p}{\partial y}dy+\frac{\partial E_p}{\partial z}dz$
$\vec{F}\cdot\vec{dl}=F_xdx+F_ydy+F_zdz$
$-dE_p=\vec{F}\cdot\vec{dl}$
于是$F_x=-\frac{\partial E_p}{dx}$,$F_y=-\frac{\partial E_p}{dy}$,$F_z=-\frac{\partial E_p}{dz}$
于是$\vec{F}=-(\frac{\partial}{dx}\vec{i}+\frac{\partial}{dy}\vec{j}+\frac{\partial}{dz}\vec{k})E_p$
引出哈密顿算符$\nabla$
$\vec{F}=-\nabla E_p$
把$\nabla E_p$成为$E_p$的梯度
阻尼振动
定义：除了恢复性的保守力（不损耗能量）之外，还有一个阻尼力（损耗能量），动能逐渐减小，有衰减现象，形成阻尼振动。
取$F_x=-kx$,$f_x=-\gamma x’$
$mx’’=-kx-\gamma x’$
$x’’+\frac{\gamma}{m}x’+\frac{k}{m}x=0$
$x’’+2\beta x’+\omega_0^2x=0$
$\beta=\frac{\gamma}{2m}$ 阻尼系数
$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 本征/固有频率
三种解的情况
按照微分方程特征值正常讨论
（1）$\beta>\omega_0$ 过阻尼
(2)$\beta=\omega_0$ 临界阻尼
(3)$\beta<\omega_0$ 低阻尼
$x=Ae^{-\beta t}cos(\omega t+\phi)$
$\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}$
振动无周期，“振幅”随时间衰减
引入对数缩减$\lambda$
受迫振动
恢复性保守力+阻尼力+周期性变化的外力（策动力）
$F_x=-kx$,$f_x=-\gamma x’$,$F=F_0cos\omega t $
微分方程可以写出：
$mx’’+\gamma x’+\beta x=F_0cos\omega t$
$x’’+2\beta x’+\omega_0^2 x=f_0 cos \omega t$
$\beta=\frac{\gamma}{2m}$ 阻尼系数
$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ 本征/固有频率
$f_0=\frac{F_0}{m}$
微分方程找特殊解常常可以考虑$x*=Acos(\omega t+\phi)$,$A=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)+4\beta^2\omega^2}}$
$tan\phi=\frac{-2\beta \omega }{\omega_0^2-\omega^2}$
三种解的情况
与阻尼振动的情况类似
低阻尼情况
$x=e^{-\beta t}cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}+\phi_0)+Acos(\omega t+\phi)$ 暂态解
$Acos(\omega t+\phi)$ 稳态解，与初始状态无关
共振现象
条件：必须在低阻尼情况下讨论
给定$\beta$ 讨论A与$\omega$的关系
当 $\beta <\frac{\omega_0}{\sqrt{2}}$ 会出现振幅共振现象，即外加频率=固有频率时，振幅最大
波动现象
波是振动状态传播形成的物理现象
要素：波源、介质
分类
机械波（水波、地震波）、非机械波（电磁波）
简谐波、非简谐波
横波（水面波、线波、电磁波）、纵波（声波、长弹簧波）；地震波既有横波也有纵波
线波、面波、空间波
空间波
分类
平面波、柱面波、球面波、其他
定义
波阵面：某时刻空间振动相位相同的点组成的面
波前：t时刻最前方的波阵面
波线：波的传播方向线
简谐波
平面简谐波
能量密度不变，因此A不变
$\xi=\xi(t,x)$定义为振动量
波是振动状态的传播，而这个振动状态是简谐振动
于是只需要找x=0,$\xi(t,x=0)=Acos(\omega t+\phi)$
$\xi(t,x)=\xi(t-\frac{x}{u},x=0)$
u波速，$\lambda$波长
因此$\xi(t,x)=Acos(\omega (t-+\frac{x}{u})+\phi)$右传播-左传播+
$\lambda=uT$
$\frac{\omega}{u}=\frac{2\pi}{\lambda}$
于是$\xi(t,x)=Acos(\omega t-+\frac{2\pi}{\lambda}x+\phi)$右传播-左传播+，这种表示方式可以看出相对位置的影响
定义$k=\frac{2\pi}{\lambda}$为波数（可以理解为空间中的”角频率”）
矢量化$\vec{k}=k\vec{i}$
于是$\xi(t,x)=Acos(\omega t- \vec{k}\cdot\vec{x} +\phi)$
球面简谐波
能量密度与$r^2$成反比，因此$A_r$与$\frac{1}{r}$成正比
$\xi(r,t)=\frac{A}{r}cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}r+\phi)$ 注意这里的A并不是振幅
$\xi(r,t)=\frac{r_0}{r}A_0cos(\omega t-\frac{2\pi}{\lambda}r+\phi)$ 这种表示方式可以给定一个位置的振幅，来求其他的振幅
波干涉与驻波
波的独立传播现象：若干列相同种类的波，在介质中传播的时候，如果动力方程是线性的，则每一列波的传播不受其他波列的影响。
波的叠加：满足上述现象的波，在空间每一个点形成的合振动即为各自独立存在时振动量的叠加。
干涉
相干波列：同频率，同振动方向，有固定的初相位或者有固定的初相位差。
相干波源：产生相干波列的波源。
波的干涉：相干波列在介质中各处合振动振幅有不随时间变化的空间分布。
特例：$\phi_1-\phi_2=0$
则$r_2-r_1=k\lambda$ 有A最大值
$r_2-r_1=k+\frac{1}{2}\lambda$ 有A最大值
驻波
$A_1=A_2=A$
则最大振幅为2A，最小振幅为0
波的衍射反射折射
惠更斯原理
t时刻波前的每一个点部位都可以看作是产生球面子波的新波源，这些子波在$t+\Delta t$时刻波前的包络面就是整个波在$t+\Delta t$时刻的波前
折射定律
折射定律:$\frac{u_1}{sin\theta_i}=\frac{u_2}{sin\theta_t}$
反射定律
如果镜子不动，则反射角等于入射角
镜子向下运动，则反射角大于入射角
镜子向上运动，则反射角小于入射角
半波损失
假设遇上某一个介质分界面，只有反射没有透射。
反射有$\pi$相位突变，相当于减少半个波长。
多普勒效应
讨论相对接收者运动的波源
定义观测者B在单位时间内接收到的波列长度为u，其中包含波长个数即为单位时间内接收到的全振动次数，定义为接收频率。$\nu=\frac{u}{\lambda}$
都不动
显然$\nu=\nu_0$
S不动B动
假设B向S运动，则单位时间接收到波列长度为$u+v_B$
$\nu=\frac{u+v_B}{\lambda_0}=\frac{u+v_B}{u}\nu_0$
如果B背离S运动，则上述式子中的+改为-（要求$v_B<u$）
注意如果$v_B>u$不属于多普勒效应
冲击波
$v_B>u$时是冲击波
$sin\theta=\frac{u}{v}$
S动B不动
观测者认为波长改变了
假设B向S运动，$\lambda’=\lambda_0-v_ST_0=(u-v_S)T_0$
$\nu=\frac{u}{\lambda’}=\frac{u}{u-v_S}\nu_0$
如果B背离S运动，则上述式子中的-改为+
SB都动
$\nu=\frac{u+-v_B}{u+-v_S}$
一维线性波动方程
波动方程
平面简谐波：$\xi(x,t)=Acos[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi]$
简谐振动动力学微分方程：$x’’+\omega^2x=0$
$\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=-\omega^2\xi$
$\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}=-\frac{\omega^2}{u^2}\xi$
$\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}-u^2\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}=0$
弹性介质中的纵波横波
波速
横波
取一小段弹簧dx，记它的伸长量为$d\xi$
弹性，则知道$\frac{d\xi}{dx}$与$\frac{F}{S}$成正比
$E\frac{d\xi}{dx}=\frac{F}{S}$,E为常量，定义为杨氏模量
$k_{dx}=\frac{F}{d\xi}=\frac{ES}{dx}$(很小一段的伸长量)
$k=\frac{ES}{l}$ 长度为l的弹性介质的劲度系数
假设匀质柱体密度为$\rho$初始长度为x
则$\rho s \Delta x \frac{d^2\xi}{dt^2}=\rho s \Delta x g+F_2-F_1$
$F_1=ES(\frac{d\xi}{dx})_x$
$F2=ES(\frac{d\xi}{dx}){x+\Delta x}$
代入把右边化简为二阶导再约分
$\frac{d^2 \xi}{dt^2}-\frac{E}{\rho}\frac{d^2 \xi}{dx^2}=g$
变成偏导得一阶线性非齐次方程
$\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}-\frac{E}{\rho}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=g$
如果改为水平放置，则$\frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2}-\frac{E}{\rho}\frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2}=0$
水平放置时$u=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$
纵波
纵波波速：$u=\sqrt{\frac{G}{\rho}}$
线波
波动方程的解
$\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}-u^2\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2}=0$
通解：设x=0为$\xi(0,t)=\Phi(t)$
右形波$\xi(x,t)=\xi(0,t-\frac{x}{u})=\Phi(t-\frac{x}{u})$
左形波$\xi(x,t)=\xi(0,t+\frac{x}{u})=\Phi(t+\frac{x}{u})$
通解：$\xi(x,t)=\Phi_1(t-\frac{x}{u})+\Phi_2(t+\frac{x}{u})$
如果引入t=0时各个x的振动量分布函数，表示为$F_1(x)$
再给出各个x振动的速度分布函数，表示为$F_2(x)$
则$\Phi_1，\Phi_2$函数形式由$F_1(x)$和$F_2(x)$确定
波的能量
弹性介质纵波为例取简谐波
$\xi(x,t)=Acos[\omega(t-\frac{x}{u})+\phi]$
为方便取$\phi=0$
取一段介质，面积dS，长度从x到x+dx，密度$\rho$
dV=dSdx
$dE_k=\frac{1}{2}(\rho dS dx)(\frac{\partial \xi}{\partial t})^2$
$dE_k=\frac{1}{2}\rho \omega^2 A^2 sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]dsdx$
$dEp=\frac{1}{2}k{dx}[\xi(x+dx,t)-\xi(x,t)]^2$
$dE_p=\frac{1}{2}Edsdx(\frac{\partial \xi}{\partial x})^2$
$dE_p=\frac{1}{2}\rho \omega^2 A^2 sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]dsdx$
发现一个重要规律：$dE_p=dE_k$
能量密度
$\epsilon=\frac{dE}{dV}$ $dE=dE_k+dE_p$
$\epsilon=\rho \omega^2 A^2 sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]$
波场的能流密度
u是波的传播速度
$i=\frac{dE}{ds dt}=\epsilon u$
把它矢量化为$\vec{i}=\epsilon \vec{u}$
习题
题1
$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$
$T=\frac{2\pi}{\omega}$
$t=\frac{T}{4}$
$h+\Delta l=\frac{1}{2}gt^2$
算出$h=(\frac{\pi^2}{8}-1)\frac{M}{k}g$
碰后粘连，讨论其后的运动
$v_0=\frac{1}{2}(gt+\omega \Delta l)$ 注意，这个$\Delta l$也是振幅
因此$v_0=\frac{1}{2}(1+\frac{\pi}{2})\sqrt{\frac{M}{k}}g$
把碰上的时刻看成t=0时刻。新的力平衡位置要再下移$\Delta l$
建立向下的坐标，取新的平衡位置为坐标原点，取向下为正方向
$y=Acos(\omega’t+\phi)$
$\omega’=\sqrt{\frac{k}{2M}}$
t=0时，$y_0=-\Delta l$
用公式$A=\sqrt{y_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}=\sqrt{1+\frac{1}{2}(1+\frac{\pi}{2})^2}\sqrt{\frac{M}{k}}g$
A大约2.07$\frac{Mg}{k}>2\frac{Mg}{k}$ 因此并不是纯粹的简谐振动
$tan\phi=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\frac{\pi}{2})>0$
又由于$y_0=Acos\phi$是负的，可以确定$\phi$是第三象限
$\phi=\pi+arctan(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+\frac{\pi}{2}))$
题2
重点：碰之后B和B’的质心匀速直线运动，B相对于质心简谐运动
题3
纯滚动，静摩擦力做功为零，因此机械能守恒
$E=\frac{1}{2}mv_c^2+\frac{1}{2}I_c+mg(R-r)(1-cos\theta)$
$v_c=(R-r)\theta ‘$
$\phi’=(\frac{R}{r}-1)\theta$
把方程两边对t求导，并取小角度近似$sin\theta=\theta$
$\theta’’+\frac{5g}{7(R-r)}\theta=0$