数学准备

行列式

正常运算
Cramer’s law

矢量的合成与分解

$\vec{A}$

$\vec{a}$=$\frac{\vec{A}}{A}$方向矢量（长度为1）

标量与矢量的乘积

平行四边形法则

矢量的正交分解

$\vec{A}=A_x\vec{i}+A_y\vec{j}+A_z\vec{k}$

i j k分别对应x y z

k维空间

一维空间：

前后有一对可以延展的方向

可以开放（没有尽头）也可以闭合（圈）

二维空间：

前后左右有两对可以延展的方向

有平直&弯曲之别

三维空间：

前后左右上下三对可延展的方向

有平直&弯曲之别

k维空间：

k对互相垂直可延展的方向

矢量标积（点乘）

应用：功

矢量的失积（叉乘）

$\vec{A}\times\vec{B}=\vec{C}$
$C=AB\sin\theta$
C的大小：平行四边形法则中平行四边形的面积

$\vec{C}的方向$

右手系规定:

右手框架:拇指指向$\vec{A}$的方向，食指指向$\vec{B}$的方向，中指的方向是$\vec{C}$

右手螺旋：四指指向$\vec{A}$的方向，握向$\vec{B}$的方向，拇指的方向是$\vec{C}$

左手系规定与之类似

基本性质

$\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}$

$(k\vec{A})\times\vec{B}=k(\vec{A}\times\vec{B})$

分配律、结合律

$\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=0$

$\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}$

$\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}$

$\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}$

$\vec{A}\times\vec{B}=$ $\begin{vmatrix}\vec{i} & A_x & B_x \\vec{j} &A_y & B_y \\vec{k}& A_z & B_z\end{vmatrix}$

应用：安培力，洛伦兹力
可以证明：任意一个单连通闭合电流回路在匀强磁场中所受（合）安培力为零。
$\vec{F}=\sum I\Delta l B=I \sum (\Delta l) B$
闭合回路，$\sum (\Delta l)=0$

矢量的三重积

三重标积

$\vec{A}\cdot (\vec{B}\times\vec{C})=\vec{A}\vec{B}\vec{C}围成的平行六面体的体积$

$\vec{A}\vec{B}\vec{C}$共面则有$\vec{A}\cdot (\vec{B}\times\vec{C})=0$

$\vec{A}\cdot (\vec{B}\times\vec{C})=\begin{vmatrix} A_x & B_x & C_x\\ A_y & B_y&C_y \\ A_z & B_z & C_z\end{vmatrix}$

性质：$\vec{A}\cdot (\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}\cdot (\vec{C}\times\vec{A})=\vec{C}\cdot (\vec{A}\times\vec{B})$

三重矢积

$\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{D}$ 注意到$\vec{D}$一定在$\vec{B}\vec{C}$确定的平面内

所以$\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\alpha\vec{V}+\beta\vec{C}$ 其中$\alpha=\vec{A}\cdot \vec{C}$ $\beta=-\vec{A} \cdot \vec{B}$

记忆：ACB,BAC 换顺序即可

微积分

几个重要极限

把dx看作x趋于0

cosdx=1

sindx=tandx=dx

Ax+bdx=Ax

$(1+dx)^{\frac{1}{dx}}=e=2.71828$

微商（导数）

定义：函数的微分与自变量微分构成的商运算

泰勒

$e^{ix}=1+ix-\frac{1}{2!}x^{2}-\frac{i}{3!}x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+…$

$e^{ix}=cosx+isinx$

矢量的微商

$\vec{A}(t)=A_x(t)\vec{i}+A_y(t)\vec{j}+A_z\vec{k}$

整体式 $d\vec{A}=\vec{A}(t+dt)-\vec{A}(t)$

分解式 $\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{dAx}{dt}\vec{i}+\frac{dAy}{dt}\vec{j}+\frac{dAz}{dt}\vec{k}$

圆的渐开线运动——更加适合用整体式解法

将一个圆轴固定在一个平面上,轴上缠线,拉紧一个线头,让该线绕圆轴运动且始终与圆轴相切,那么线上一个定点在该平面上的轨迹就是渐开线。

用小量近似，$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt},d\vec{v}指向切点,大小为v_0d\theta$

可以推导出：$\vec{a}=\frac{d\theta}{dt}v_0=\omega v_0=\frac{v_0}{l}v_0$

标积矢积的微商

已知$\vec{A}(t)\vec{B}(t)$

$(\vec{A}\cdot\vec{B})’=\frac{d\vec{A}}{dt}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot \frac{d\vec{B}}{dt}$

$(\vec{A}\times\vec{B})’=\frac{d\vec{A}}{dt}\times\vec{B}+\vec{A}\times \frac{d\vec{B}}{dt}$

积分

面积、弧长公式

例子：一个圆盘，面积密度$\rho=\frac{dm}{ds}是常量,以\omega的角速度转动,求总动能$

取一个小圆环
$dm=\rho(2\pi rdr),v=\omega r,dE_k=\frac{1}{2}(dm)v^2=\pi\rho\omega^2 r^3 dr$

总动能即从0到R积分得，$\frac{1}{4}\pi\rho\omega^2R^4$

引入:$M=\rho \pi R^2,I=\frac{1}{2}MR^2得E_k=\frac{1}{2}I\omega^2$

例子:细杆滑下去

找包络线

偏微商（偏导）

$y(x_1,x_2,…,x_k)$变化到$y(x_1+dx,x_2,…,x_k)$

偏微商 $\frac{y(x_1+dx,x_2,…,x_k)-y(x_1,x_2,…,x_k)}{dx_1}$=$\frac{\partial y}{\partial x_1}$

函数因为各自变量变化引起的变化量：全微分$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}dx_1+…+\frac{\partial y}{\partial x_k}dx_k$

例子:理想气体状态方程 pV=nRT T=$\frac{PV}{nR}$

$\frac{\partial T}{\partial p}=\frac{V}{nR}$

$\frac{\partial T}{\partial V}=\frac{p}{nR}$

$代入后知道：pdv+vdp=nRdT$

多元函数的积分

三维空间

标量函数:$\phi(\vec{r})=\phi(x,y,z)$

实例：静电场的电势 $U=U(\vec{r})$

矢量函数:$\vec{A}(vec{r})=\vec{A}(x,y,z)$

实例：静电场场强 $\vec{E}=\vec{E}(\vec{r})$

标量函数线积分

$\int_L\phi(\vec{r})dl若\phi=1，则该积分为l$

特例:L为闭合曲线

$\oint_L\phi(\vec{r})dl$

矢量函数线积分

$\int_L\vec{A}d\vec{l}$

实例：做功

$dw=\vec{F}\cdot\vec{dl}$

特例:闭合曲线，给定一个循环的方向$\oint_L\vec{A}\vec{dl}$

实例：保守力

标量函数的面积分

ds:面元面积

每一条从左到右积分，再把条和条之间从上到下积分

$\iint_s\phi(\vec{r})dS$ 二重积分

特例：如果是闭合曲面，则$\oiint_s\phi(\vec{r})ds$

矢量函数的面积分

$\vec{ds}=ds\vec{n}$ 面元矢量

$\iint_s\vec{A}\vec{ds}$

实例：如果$\vec{A}是磁感应强度\vec{B},那么这个积分表示通过这个面的磁通量$

特例: S是一个闭合曲面

$\oiint_s\vec{A}\vec{ds}$

例如:$\oiint \vec{B}\vec{ds}=0$

标量函数体积分

$\iiint_v\phi(\vec{r})dV$