质点运动学

运动：物体各点部位的位置随时间变化

空间

绝对空间观：

存在着没有物体（物质）的空间，物体（物质）存在并运动于该空间中，空间的内在性质（三维欧几里得性质，平直的）与物体（物质）的存在、运动与否无关。

相对论空间观：

设想或讨论不存在物体（物质）的空间是没有意义的。

真实空间是物体（物质）延展而成而且物体运动所在的空间。

真是空间的度量性质随着测量者（其载体是物体/物质）而异。

时间

绝对时间观:

存在着没有事物演化的时间流逝，事物演化于该时间流逝中。时间流逝的内在性质与事物的存在，以及演化的出现与否无关。

相对论时间观：

设想或者讨论，不存在事物演化的时间是没有意义的。

真实的时间是事物演化表现的时间。

真实时间的度量随测量者而异。

参考系

参考物

物体始终处于相对运动状态之中，最基本的运动关系或者运动内容便是两个物体之间的相对运动。

参考空间

参考物在体结构上静态延展而成的三维平直空间（在宏观世界里）

空间坐标系

来标定空间

时间坐标

来标定时间

质点

物体各个小部位模型化为质点。

如果物体中各个小部位运动相同的时候（平动），可以把物体整体模型化为一个质点。

物体当中各个小部位运动情况虽然不同，但其间差异相对所考察的运动线度可以忽略，可以把物体整体模型化为一个质点。

直线运动

位移

x=x(t)称为运动方程

$\Delta x=x(t+\Delta t)-x(t)，被标量化了，用正负号表示方向$

无穷小位移，从t→t+dt，dx（也被标量化）

dx=x(t+dt)-x(t)

$\Delta x=\int_{t}^{t+\Delta t}dx$

路程

$ds=|dx|,\Delta s=\int_{t}^{t+\Delta t}|dx|$

速度

$\vec{v}=\frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}$

加速度

$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}$

三类直线运动

匀速直线运动

a=0, v常量

匀加速

a=常量,$v=v_0+at,x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2,v_x^{2}-v_0^{2}=2a(x-x_0)$

变加速

范例：简谐振动
$x=Acos(\omega t+\phi)$

平面曲线运动

$\vec{r}=\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}$分解为X,Y两个方向的运动

位移$\Delta \vec{r}=\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)$

速度$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=v_x \vec{i}+v_y \vec{j}$

加速度$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=a_x \vec{i}+a_y \vec{j}$

斜抛运动

初速度$v_0$斜向上，与x轴夹角$\theta$

通过写出x,y关于t的方程可以解出来轨道方程

$y=\frac{-g}{2v_0^{2}cos^2\theta}x^2+(tan\theta) x$

射高:$H=\frac{v_0^2sin^2\theta}{2g}$

水平射程:$s=\frac{v_0^2sin2\theta}{g}$ 给定的$v_0$有两个互余的锐角对应相同的s

下面我们考虑$v_0$给定，$\theta$可变，我们求解包络线的方程

包络线的数学定义：
如果一族曲线由方程 F(x,y,t)=0 表示，其中 t 是参数，那么该族曲线的包络线满足以下两个条件：

F(x,y,t)=0 （曲线本身的方程）

$\frac{\partial F}{\partial t}=0$

解法一

解法二
这里$\frac{\partial F}{\partial t}=0$意味着对于每个x,y只有一个$\theta$与之对应

$tan \theta=\frac{v_0^{2}+-\sqrt{v_0^4-2v_0^2gy-g^2x^2}}{gx}$

$\Delta=0$可知$v_0^4-2v_0^2gy-g^2x^2=0$ 包络线本身也是一个数学上的抛物线

自然坐标系分解

平面曲线运动的一般特点

$\vec{r}=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}$

如果x(t),y(t)相互独立，则称这个质点运动有两个自由度

若质点运动被约束在一条平面曲线上，则有F(x,y)=0,此时x(t)y(t)并非相互独立，此时只有一个自由度

圆周运动

$x^2+y^2=R^2,R为不变量$

角位移，角速度都是标量

角加速度$\beta=\frac{d\omega}{dt}$

线位移$d \vec{l}=dl\vec{\tau}=Rd\theta\vec{\tau}（\vec{\tau}是切向方向向量）$

线速度$d \vec{v}=R\omega\vec{\tau}$

$d\vec{v}=d\vec{v}心+d\vec{v}切$

$d\vec{v}_心$ 方向向心，大小$vd\theta$

$d\vec{v}_切 方向切向，大小dv（注意不是|d\vec{v}|）=Rd\omega$

$\vec{a}_心 方向向心，大小v\omega$

$\vec{a}_切 方向切向，大小R\beta$

角量的矢量化

引入$\vec{k}$

$\vec{d\theta}=d\theta\vec{k}$

$\vec{dl}=\vec{d\theta}\times\vec{r}$

$\vec{\omega}=\omega \vec{k}$

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}$

$\vec{\beta}=\frac{d\omega}{dt}\vec{k}=\beta\vec{k}$

$\vec{a}=\frac{d(\vec{\omega}\times\vec{r})}{dt}=\frac{d\vec{\omega}}{dt}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times\frac{d\vec{r}}{dt}$

注意到$d\vec{r}=d\vec{l}$

所以$\vec{a}=\vec{\beta}\times\vec{r}(a{切})+\vec{\omega}\times\vec{v}（a{心}）$

平面光滑曲线运动的圆分解

曲率半径$\rho$

曲率$k=\frac{1}{\rho}$

$a_心(a_n)=\frac{v^2}{\rho}$

$a切(a\tau)=\frac{dv}{dt}$

通过物理方法来求解曲率半径$\rho=\frac{v^2}{a_心}$

例如:$y=Acosx$求顶点处的曲率半径

设：$x=v_0t$ $y=Acosv_0t$

$v_x=v_0$

$v_y=-v_0Asinv_0t$

$a_x=0$

$a_y=-v_0^2Acosv_0t$

取t=0，这时$v=v_0,a_x=0,a_y=-v_0^2A（向心加速度）代入得\rho=\frac{1}{A}$

极坐标系分解

用极坐标表示的曲线

$x=rcos\theta,y=rsin\theta$

$r=A(1-cos\theta)心脏线$

$r=r_0\theta阿基米德螺旋线$

$r=r_0e^{\frac{\theta}{\alpha}}(\alpha>0)对数螺线$

极坐标观点下的运动学

$\vec{er}径向方向矢量；\vec{e\theta}角向（横向）方向矢量——移动的正交分解$

运动方程$\vec{r}=\vec{r}(t)$

$\vec{v}=\frac{\vec{dr}}{dt}$

$\vec{r}=r\vec{e_r}$

$\vec{der}=d\theta\vec{e\theta}$

$\vec{de_\theta}=-d\theta\vec{e_r}注意负号！$

$\vec{v}=\frac{dr}{dt}\vec{er}+r\frac{\vec{de_r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec{e_r}+r\frac{d\theta}{dt}\vec{e\theta}$

$\vec{v}=vr\vec{e_r}+v\theta\vec{e_\theta}$

$vr=\frac{dr}{dt};v\theta=r\frac{d\theta}{dt}$

$\vec{a}={\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2}\vec{er}+{r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}}\vec{e\theta}$

$径向加速度a_r=\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2$

$角向加速度a_\theta=r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}（第二项是科里奥利加速度）$

平面曲线的运动轨道

$r=r(\theta)$

$r=r(t),\theta=\theta(t)联立把t消掉可以得到r(\theta)$

$vr=\frac{dr}{dt};v\theta=r\frac{d\theta}{dt}$

$\frac{dr}{d\theta}=r\frac{vr}{v\theta}$

$若已知vr,v\theta与r和\theta的表达式，可以推出r(\theta)。这种方式多见于天体运动种的推导$

空间曲线运动

质点的空间运动

运动方程：$\vec{r}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$

$\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k}$

$\vec{a}=a_x\vec{i}+a_y\vec{j}+a_z\vec{k}$

质点系和刚性质点系

质点系

定义：由若干质点构成的系统

自由度

取出第i个质点，运动不受约束，它的运动方程$\vec{r_i}(t)=x_i(t)\vec{i}+y_i(t)\vec{j}+z_i(t)\vec{k}$。有三个独立坐标，称为有三个运动自由度。

N个质点构成 质点系，各个质点的运动都不受约束，那么有3N个自由度。

刚性质点系

定义：每两个质点的间距不变。

自由度

取出三个不共线的质点，那么可以唯一确定一个平面。命名为1，2，3号质点。如果$\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3}$确定，可以确定整个系统所有点的位置。此时自由度取决于1，2，3.

1，2，3还有三个约束方程（来刻画距离不变）

因此刚性质点系运动的参量只有6个。

运动分解

平动+转动

平动有三个自由度；转动有三个自由度

参考系间的相对运动

参考系间平动

在S系，$\vec{r}(t)$;在S’系,$\vec{r}(t)$;刻画O’相对S系运动$\vec{r_{O’}(t)}$

伽利略变换：

$\vec{r}(t)=\vec{r_{O’}(t)+\vec{r’}(t)}$

$\vec{v}(t)=\vec{v_{O’}}(t)+\vec{v’}(t)$

$\vec{a}(t)=\vec{a_{O’}}(t)+\vec{a’}(t)$

参考系间的匀速定轴转动

例子：地球参考系相对于地心参考系做匀速定轴转动

参考系中质点间的相对运动

某参考系如果有两个运动质点A，B。建立一个随A一起相对S系运动（平动）的参考系，称之为平动参考系A系，便可以描述B在A系中的运动。这个运动就是在背景参考系S中B相对A的运动。

例子：滚轮线运动

习题

题1

长(L)的均匀弹性绳(AB)自由伸直地放在光滑水平桌面上，绳的(A)端固定。(t = 0)时，一小虫开始从(A)端出发以相对绳的匀速度(u)在绳上朝(B)端爬去，同时绳的(B)端以匀速度(v)沿绳伸长方向运动，试求小虫爬到(B)端的时间(T)。

解答：
这道题目求解的难点在于，绳子的长度随着时间的变化而变化，所以我们不方便对绳子的真实长度直接做讨论。

因此我们引入一个（相对于绳子）的坐标系，即便绳子的真实长度改变了，我们依旧把它看作L。在这种坐标系之下，设小虫子的坐标为x。

那么小虫子的真实坐标$x’=x\frac{L+vt}{L}$

因此，$dx’=\frac{L+vt}{L}dx$ 注意到$dx’=udt$

于是我们可以把dx’替换为dx，即$dx=\frac{L}{L+vt}udt$

$\int{0}^{T} \frac{dt}{1+v\frac{t}{L}}=\int{0}^{L}\frac{dx}{u}$

$T=\frac{L}{v}(e^\frac{v}{u}-1)$

题2

一个小虫子以相对圆柱速度为u爬行，圆柱半径$r=r_0(1+\alpha t)$

解答：类似于题1，但有一种更简单的方式

考虑$d\theta=\frac{udt}{r(t)}$，两边积分即可

题3

$加速度\vec{a}速度\vec{v}$,求此时B点加速度。（A固定）

解答：这个问题我们可以用两种方式求两个加速度的分量，然后把这两个分量进行合成。

方式一：水平竖直分解

注意到B点的水平方向速度是$\frac{1}{2}v$，水平加速度是$\frac{1}{2}a$

方式二：把B看作绕A的圆周运动

用圆周运动向心加速度公式求出向心加速度。

题4

解答：
$以O为坐标系原点建立极坐标系，可以观察到\omega(P’的速度)=2\omega_0$

$v_r=-v_0（指向O所以是负的）$

$v_\theta=r\omega=2r\omega_0$

$a_r=0-r\omega^2=-4r\omega_0^2$

$a_\theta=0+2(-v_0)\omega=-4v_0\omega_0$

$a_心=(4rw_0^2)cos\phi+(4v_0\omega_0)sin\phi$

$cos\phi=\frac{2r\omega_0}{v};sin\phi=\frac{v_0}{v}$

$v=\sqrt{v_0^2+4r^2\omega_0^2}$

$\rho=\frac{v^2}{a_心}$

$\rho=\frac{(v_0^2+4r^2w_0^2)^\frac{3}{2}}{4\omega_0(v_0^2+2r^2\omega_0^2)}$

题5

狐狸沿半径R的圆轨道以恒定速率v奔跑，在狐狸出发的同时，猎犬从圆心出发以相同的速率v追击过程中，圆心、猎犬和狐狸始终连成一直线。取圆心O为坐标原点，从O到狐狸初始位置设置极轴，建立极坐标系。

(1) 导出猎犬$vr,a_r,a\theta$与猎犬所在位置参量$r,\theta$间的关系；

(2) 确定猎犬运动轨道的极坐标方程，并画出轨道曲线；

(3) 判断猎犬能否追上狐狸？

解答:
对猎犬分析：因为共线，$v_\theta=r\omega=\frac{r}{R}v,v_r=\sqrt{v^2-v_0^2}$

$\frac{dr}{d\theta}=r\frac{vr}{v\theta}=\sqrt{R^2-r^2}$

$\int{0}^{r}\frac{dr}{\sqrt{R^2-r^2}}=\int{0}^{\theta}d\theta$

$arcsin\frac{r}{R}=\theta或者r=Rsin\theta（圆）$

二者正好在顶点相遇（走过的弧长相同）