角动量定理与天体运动

角动量定理

质点角动量定理

概念引入

质点速度$\vec{v}$：是一个相对参考系整体的运动学量

不同的参考系可以测量出不同的$\vec{v}$，在同一参考系内相对不同参考点（参考点相对参考系不动）具有相同的$\vec{v}$

动量、动能也有相似性质

刻画质点相对同一参考系，不同参考点有不同效果的是质点相对这个参考点的旋转运动。为了描述这种效果，我们引入面积速度。

$dS=\frac{1}{2}|\vec{r}\times\vec{v}dt|$

引入面积速度$k=\frac{dS}{dt}=\frac{1}{2}|\vec{r}\times\vec{v}|$

矢量化为$\vec{k}=\frac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}$

速度$\vec{v}$对应动量$\vec{P}$

类似地，面积速度$\vec{k}$对应角动量$\vec{L}=2m\vec{k}=\vec{r}\times\vec{P}$

$\vec{k}和\vec{L}$相对不同参考系和同意参考系的不同参考点是不同的。

为什么速度$\vec{v}$随着t变化？我们有$\frac{\vec{dP}}{dt}=\vec{F}$

类似地，面积速度$\vec{k}$是否随着t变化？我们通过$\frac{dL}{dt}$确定。

$\frac{dL}{dt}=\frac{d(\vec{r}\times\vec{p})}{dt}=\frac{d\vec{}r}{dt}\times\vec{P}+\vec{r}\times\frac{d\vec{P}}{dt}=\vec{r}\times\vec{F}$

这是因为$\frac{\vec{dr}}{dt}=\vec{v}$和$\vec{P}$平行，叉乘为零。

于是我们引入力矩$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{r}\times\vec{F}$

角动量守恒

若过程中恒有$\vec{M}=0$,则$\vec{L}$ 整体守恒

若某个分量力矩恒为零，则角动量在这个分量上守恒

例子

匀速圆周运动

质点做匀速圆周运动，相对O角动量守恒。因为向心力指向圆心，力矩为零。

行星运动

找太阳所在位置F，相对F角动量守恒。

圆锥摆

竖直方向上角动量守恒

摆线长度l，半顶角$\theta$。取悬挂点O为参考点。

分析方式1：用力矩

$\vec{M}=\vec{l}\times mg$

$\vec{M}$水平旋转，方向指向纸面外，$\vec{M_z}=0$（竖直方向上角动量守恒）

分析方式2：直接分析

$\vec{L}=\vec{l}\times m\vec{v}$ 斜向上，旋转

$\vec{L_水}$旋转，$\vec{L_z}$守恒量

单摆

取指向纸面外为z轴

$\vec{M}=\vec{l}\times(\vec{T}+m\vec{g})=\vec{l}\times m\vec{g}$

$\vec{M}=-lmgsin\theta \vec{k}$, $\vec{k}$是z轴正方向的方向向量

$\vec{L}=\vec{l}\times m\vec{v}=lmv\vec{k}$

$v=l\frac{d\theta}{dt}$

$\vec{L}=ml^2\frac{d\theta}{dt}\vec{k}$

由质点角动量定理，$\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}$

$-lmgsin\theta=ml^2\frac{d^2\theta}{dt^2}$

$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}sin\theta=0$

若取小角度，可近似把$sin\theta=\theta$

即$\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0$

注意到这个方程与简谐运动方程数值上同构

简谐运动方程：$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2\theta=0$

质点系角动量定理

惯性系

引理：

一对作用力与反作用力相对同一参考点力矩和为0

S系由1，2两个质点构成，参考点为O，1的位置是$\vec{r_1}$,2的位置是$\vec{r_2}$ 表示从1指向2的矢量为$\vec{r}$

$\vec{r_1}\times\vec{F_1}+\vec{r_2}\times\vec{F_2}=(-\vec{r_1}+\vec{r_2})\times\vec{F_2}=\vec{r}\times\vec{F_2}$

因为$\vec{r}$和作用力同一方向，因此力矩之和为零。

定义：$\vec{L}=\Sigma_i\vec{L_i}$

$\frac{\vec{dL}}{dt}=\Sigma_i\frac{d\vec{L_i}}{dt}=\Sigma\vec{M_i}$

因为作用力与反作用力之和为零，故内力力矩为零。我们可以得出：

质点系角动量定理：$\vec{M外}=\frac{d\vec{L}}{dt}$，$M外$是外力力矩之和。

非惯性系

$\vec{F’}=\vec{F真}+\vec{F惯}=m\vec{a’}$

$\vec{M外}+\vec{M惯}=\frac{d\vec{L}}{dt}$，$M_惯$是惯性力矩之和

角动量守恒定律

如果恒有$\vec{M_外}=0$ 则质点系角动量守恒

天体运动

二体引力系统

把其中一个天体看作不动，简化为一体运动

开普勒三定律

轨道定律

可以引申为圆锥曲线运动轨道。椭圆、抛物线、双曲线。焦点是太阳的位置。

轨道能量$E_p$。椭圆$E_p<0$,抛物线$E_p=0$,双曲线$E_p>0$

到ep2，先鸽了，学质心刚体去了

题目

题1

圆锥面光滑，小球一开始在高度为H做匀速圆周运动，给小球一个冲量，使其速度变成$\sqrt{1+\alpha}$倍。求小球上升的最大高度

可以通过牛顿定律算出小球做圆周运动的速度是$v_0=\sqrt{gH_0}$

突破口：取O点为参考点，发现$M_z=0$，即$L_z$守恒（z方向是竖直方向）

这个角动量守恒关系结合能量守恒就可以求解