机械能定理
动能定理
功与功率
$\vec{F}$ 做功定义为$dw=\vec{F}\cdot\vec{dl}=Fdlcos\theta$
功率定义：$P=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot\vec{v}$
重力功：W=mgh
弹力功：$W=\frac{1}{2}k(x_1^2-x_2^2)$
一对作用力与反作用力的做功之和是参考系不变量
$P_1$与$P_2$, $P_1$对$P_2$力为$\vec{F_1}$, $P_2$对$P_1$力为$\vec{F_2}$， 极坐标系中$P_1$对应坐标为$\vec{r_1}$. $P_2$ 对应坐标为$\vec{r_2}$
$dW=\vec{F_1}\cdot\vec{dr_1}+\vec{F_2}\cdot\vec{dr_2}=\vec{F_2}\cdot(\vec{dr_2}-\vec{dr_1})$
$dW=\vec{F_2}\cdot\vec{dr}$ 与相对位移有关
如果是平动参考系，显然$\vec{dr’}=\vec{dr}$，$dW’=dW$证毕
考虑转动参考系
经历dt
S’系：
$\vec{r_1’}变为\vec{r_1’}+\vec{dr_1’}$
$\vec{r_2’}变为\vec{r_2’}+\vec{dr_2’}$
$dW’=\vec{F_1}\cdot\vec{dr_1’}+\vec{F_2}\cdot\vec{dr_2’}=\vec{F_2}\cdot(\vec{dr_2’}-\vec{dr_1’})$
S系：
$\vec{r_1}变为\vec{r_1}+\vec{dr_1}$
$\vec{r_2}变为\vec{r_2}+\vec{dr_2}$
$\vec{d\theta}=\omega dt$
S’相对S系转过的位移可以用$d\theta\times\vec{r_1’}$来刻画
$d\vec{r_1}=d\theta\times\vec{r_1’}+d\vec{r_1’}$
$d\vec{r_2}=d\theta\times\vec{r_2’}+d\vec{r_2’}$
$dW=\vec{F_1}\cdot\vec{dr_1}+\vec{F_2}\cdot\vec{dr_2}$
$dW=\vec{F_2}\cdot(\vec{dr_2’}-\vec{dr_1’})+\vec{F_2}\cdot d\theta \times(\vec{dr_2’}-\vec{dr_1’})$
混合乘积可以交换顺序（只要保证相对次序不变）
因此$dW=\vec{F_2}\cdot(\vec{dr_2’}-\vec{dr_1’})+d\theta \cdot (\vec{dr_2’}-\vec{dr_1’})\times \vec{F_2’}$(平行，叉乘为零)
所以$dW=dW’$
特例1：刚性质点系
内力做功之和一定为0
特例2：物体中接触性的内力做功之和为零
万有引力功（二体系）
假设有m,M两个对象
$\vec{F_m}=-\frac{GMm}{r^3}\vec{r}$
$dW=\vec{F_m}\cdot\vec{dr}=-\frac{GMm}{r^3}\vec{r}\cdot\vec{dr}$
因为夹角很小可以把上式近似看为：$dW=-\frac{GMm}{r^3}rdr=-\frac{GMm}{r^2}dr$
$W{ab}=\int{\vec{r_a}}^{\vec{r_b}}-\frac{GMm}{r^2}dr=GMm(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a})$
质点的动能定理
$dW=\vec{F}\cdot\vec{dl}=F切dl=ma切dl=m\frac{dv}{dt}dl=d(\frac{1}{2}mv^2)$
非惯性系：$dW_惯+dW=dE_k$
引入$E_k=\frac{1}{2}mv^2$，于是$dW=dE_k$
质点系动能定理
$Ek=\Sigma E{k_i}$
质点系动能定理： $dEk=dW内+dW_外$
非惯性系：$dEk=dW{内}+dW{外}+dW{惯}$
保守力与势能
保守力
保守力可以是真实力也可以是假想的惯性力。如果一个力的初始位置和终止位置确定，做功与路径无关的力，是保守力。如果做功与路径有关，则是非保守力。
保守力:重力、胡克弹力、万有引力
非保守力：摩擦力
$\oint_L\vec{F}\cdot\vec{dl}=0$ 对任意闭合路径L，保守力做功为零。
作用力与反作用力保守性
初始的相对位置，终止的相对位置如果确定。
第一种情况：做功之和与其间路径无关——保守性的作用力与反作用力
第二种情况：做功之和与其间路径有关——非保守性的作用力与反作用力
这种定义与参考系无关
势能
保守力势能
$\int_{r_a}^{r_b}\vec{F}\cdot\vec{dr}=E_k(\vec{r_b})-E_k(\vec{r_a})=E_p(\vec{r_a})-E_p(\vec{r_b})$
(1) 质点在一个保守力租用下，使得它在某个空间区域内的每一个点位置具有由该位置确定的能量。这个能量称为位能或者势能$E_p(\vec{r})$
(2) 质点从一个位置到另一个位置，它的势能减少量等于位移过程中该保守力的做功量
$-dE_p=\vec{F}\cdot\vec{dr}$
如果设定某一个$r_0$点位置，让它的$E_p(\vec{r_0})=0$，$\vec{r_0}$ 称为势能零点，则给定某一点的势能就可以确定。
重力势能
势能零点：任意选取
$E_p(h)=mgh$
胡克弹性力的势能
势能零点：选x=0处
$E_p(x)=\frac{1}{2}kx^2$
惯性离心势能
$\vec{F_c}=m\omega^2\vec{r}$
势能零点：选$\vec{r}=0$处
$E_p(\vec{r})=-\frac{1}{2}m\omega^2r^2$
万有引力势能
假设M不动，m可动
$\vec{F}(\vec{r}\to \infty)=0$，因此取无穷远处为势能零点
$E_p(\vec{r})=\frac{-GMm}{r}$
一对保守力的势能
一对真实力势能归两者共有
$dE_p(\vec{r})=\vec{F_A}\cdot\vec{dr_A}+\vec{F_B}\cdot\vec{dr_B}=\vec{F_B}\cdot\vec{dr}$ 这个之前已经推导过了。
这时转化为一个保守力$\vec{F_B}$对应的势能，可以把这个看成一对保守力对应的势能
因此S,A系中$dE_p(\vec{r})$相同
例子：一对万有引力的势能
S系中有M，m两个可动的，M系固定M不可动，则S、M系中的$dE_p(\vec{r})$一样，都是$\frac{-GMm}{r}$
机械能定理
推导
考虑一个质点系，内力分为保守的和非保守的。
考虑第j对保守性内力，对应的势能记为$E{p内j}$，引入质点系的内势能$E_p=\Sigma_j E{p内j}$
$dW_{内保}$:保守性内力做功之和
质点系动能定理：$-dE{p内}=dW{内保}$
$dW{内保}+dW{内非保}+dW_外=dE_k$
我们引入$E=Ek+E{p内}$
可以得出质点系机械能定理：$dW{内非保}+dW外=dE$
机械能守恒
如果恒有$dW外=0,dW{内非保}=0$，则机械能守恒
碰撞
一维碰撞
定义：碰撞前后速度都在同一直线上。
二体碰撞
动量守恒：$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1’+m_2v_2’$（带‘的是初速度）
弹性碰撞
解1：$v_1=v_1’$, $v_2=v_2’$
解2：$v_1=\frac{(m_1-m_2)v_1’+2m_2v_2’}{m_1+m_2}$
$v_2=\frac{(m_2-m_1)v_1’+2m_1v_2’}{m_1+m_2}$
$v_2-v_1=v_1’-v_2’$（速度差保持不变）
观察：原因具有1，2置换对称性，结果也有对称性
$m_1=m_2$ 则互换速度
完全非弹性碰撞
碰撞后一起运动
$v_1=v_2=\frac{m1v_1’+m2v_2’}{m_1+m_2}$
$v_2-v_1=0\times(v_1’-v_2’) $
非弹性碰撞
$v_2-v_1=e(v_1’-v_2’)$ e介于0，1之间，称为恢复系数。
三体碰撞
动量守恒：$m_1v_1+m_2v_2+m_3v_3=m_1v_1’+m_2v_2’+m_3v_3’$（带‘的初始状态）
完全非弹性碰撞
三个末速度相等，于是有唯一解
弹性碰撞
$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2+\frac{1}{2}m_3v_3^2=\frac{1}{2}m_1v_1’^2+\frac{1}{2}m_2v_2’^2+\frac{1}{2}m_3v_3’^2$
解不可以唯一确定，为什么？
这是因为把小球刚性化了，碰撞时具体的挤压被忽略了，与真实的情况不同了。丢了几何结构和物质结构。后续讨论的斜碰撞考虑了几何结构。
绳子类碰撞作用
$m_1$，$m_2$两个小球由软绳连结。2初速度$v_2’$大于1初速度$v_1’$，求绳子伸直后的运动状态。
动量守恒：$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1’+m_2v_2’$
情况1：假设绳子不损耗机械能，则可以看成类弹性碰撞
情况2：绳子一旦伸直不再回缩
$v_1=v_2$，类完全非弹性碰撞
情况3：介于情况1，情况2之间
$v_1-v_2=e(v_2’-v_1’)$，类非弹性碰撞
二维斜碰撞
定义：碰撞前后速度矢量在同一平面内
二体碰撞
动量守恒：$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1’+m_2v_2’$（带‘的是初速度）
完全非弹性碰撞
$v_1=v_2=\frac{m_1v_1’+m_2v_2’}{m_1+m_2}$
解确定
弹性碰撞
$\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1’^2+\frac{1}{2}m_2v_2’^2$
解不确定
解决这种不确定性，可以补充一个标量方程，也可以给出一些碰撞过程的相互作用细节，或者给出几何结构。在我们讨论宏观问题时，突破口往往是几何结构。
例子：在一个光滑水平面上有两个相同的小球1号2号，1号一开始静止，2号一开始有如图所示的初速度。求碰后的状态。
我们可以把2初速度分为$v\perp$和$v\parallel$
题目
题1
很小的定滑轮与轻绳之间无摩擦，绳的A端由变力F拉动，使A始终具有水平速度$v_0$，系统的其他参量均已在图中给存储，求F的功率P
$P=\vec{F}\cdot\vec{v}$
F=T
$T-mg=ma_m$
回顾：平面极坐标系中的内容
极坐标系中径向加速度：$a_r=\frac{d^2r}{dt^2}-r(\frac{d\theta}{dt})^2$
在这里我们把滑轮看作极坐标系的原点，因为$a_r=0$，所以我们可以得出$a_m=\frac{d^2r}{dt^2}=\frac{v_0^2h^2}{l^3}$
最终可以解出$P=m(g+\frac{v_0^2h^2}{l^3})v_0\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{l}$
题2
一个均匀的柱形弹性体，整体质量M，劲度系数k，自由长度L。用手托着到原来的长度，求手的托力$F_0$是多少？
手逐渐往下移动，计算一下手从初始位置到手刚好离开柱体，做的$W_F$是多少？
解答：
从上到下建立x坐标轴，最上面为零点
考虑这个柱体横着放置，取它长度为l的一段。给柱体左右都施加力F。
$\frac{\Delta l}{\Delta L}=\frac{l}{L}$
$F=k\Delta L$ ; $F=k_l \Delta l$
$k_l=\frac{\Delta L}{\Delta l}k=\frac{L}{l}k$
$k_{dx}=\frac{L}{dx}k$
手的托力F，$T_x=\frac{L-x}{L}Mg-F$
dx的伸长量：$d\phi=\frac{Tx}{k{dx}}=(\frac{L-x}{L}Mg-F)\frac{dx}{kL}$
$y=\int_{0}^{L}d\phi=\frac{Mg}{2k}-\frac{F}{k}$
$F_0对应y=0，为\frac{1}{2}Mg$
$W=\int_{0}^{y_1}-Fdy$（手向下移动，dy向下，但是F向上，所以负号）
$F=\frac{1}{2}Mg-ky$
F=0对应$y_1=\frac{Mg}{2k}$
$W=-\frac{1}{8}\frac{M^2g^2}{k}$
这里有一个值得注意的结论，长度为$\frac{1}{n}$原长，劲度系数变为n倍
题3
本题考查参考系的选取
（1）求AB间距最大值$l_{max}$
（2）求从开始时刻到AB间距最大的时候，$W_F$
解答：
想办法把$W_F$甩掉，取B参考系。没有外力和非保守力做功，因此机械能守恒。
末态$0-\frac{GMm}{l_{max}}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{GMm}{l_0}$初态
$l_{max}=\frac{2l_0GM}{2GM-l_0v_0^2}$
正常参考系：
$末态：\frac{1}{2}(m+M)v_0^2-\frac{GMm}{l_m}$
$初态：\frac{1}{2}Mv_0^2-G\frac{Mm}{l_0}$
$W_F=末-初$
解出$W_F=mv_0^2$
讨论到这里是不完备的，第一问的答案是否有意义取决于$v_0$
补充讨论：
题4
一开始$P_x=0$，当绳子开始下滑的时候，$P_x$显然大于0。如果最终能达到中间的图所示的那种状态，必然有一个$P_x$减小的过程。
唯一能够改变$P_x$的外力是桌角给的支持力$\vec{N}$，显然这个力只能斜向上，所以$P_x$不可能减小。
当N=0时，意味着要分离了，此时有$P_x$最大值。
设$\lambda$为绳子的线密度，将绳子的运动速率记为v，则有能量关联式：
$\frac{1}{2}(\lambda L)v^2=(\lambda l)g\frac{l}{2}$
$得出v=\sqrt{\frac{g}{L}}l$
因此$p_x=\lambda (L-l)v=\lambda (L-l)\sqrt{\frac{g}{L}}l$
显然$l=\frac{1}{2}L$时水平动量最大，离开桌面。
题5
这个转换方式很巧妙，对于直角三角形的关系，要多注意斜边中点的特性。
题6
A球初始位置$H_A$,B球初始位置$H_B$,二者质量相同。所有的碰撞都是弹性的，求AB构成的系统周期运动的条件是什么？
解答：
本题的特殊性在于AB质量相同，质量相同的物体弹性碰撞会交换速度。于是我们讨论A,B两类运动状态。
A类运动状态的承担者：A,B,A,B….
B类运动状态承担者：B,A,B,A….
$T_A=2\sqrt{\frac{2H_A}{g}}$
$T_B=2\sqrt{\frac{2H_B}{g}}$
两类运动状态构成的系统是不是有公共的周期？
条件：$T_A,T_B$ 有最小公倍数，即$\frac{T_A}{T_B}$ 为有理数（$\frac{N_A}{N_B}$）。
即高度之比为一个有理数的平方。
如果不发生三体碰撞呢？
要求$N_A$和$N_B$一奇一偶
题7
一个光滑椭圆环固定在一个光滑水平面上，椭圆的周长为L，一个小球贴着椭圆环的内侧匀速率v运动。旋转一个周期，在这一个周期内，计算弹力F大小的平均值是多少（对时间求平均）？
解答：
$F=\frac{mv^2}{\rho}$
$F_平=\frac{\int_T Fdt}{T}$
$Fdt=mv(\frac{vdt}{\rho})=mv\frac{dl}{\rho}=mvd\theta$
$F平=\frac{\int{0}^{2\pi} mvd\theta}{T}$
$F_平=\frac{2\pi mv^2}{L}$
题8
考查斜碰撞中摩擦力起的作用
小球从h自由下落，落在向右以$v_0$运动的平板上，把竖直方向与平板的碰撞是弹性碰撞。小球和平板摩擦系数为$\mu$,求弹回去的速度。
解答：
$N\Delta t =2m v_\perp$
$f\Delta t=m v_\parallel$
$f=\mu N$
$v\perp=\sqrt{2gh}$
可以解出$v_\parallel$
注意：如果$v\parallel>v_0$，则上述结论失效，取$v\parallel=v_0$
题9
光滑的水平面上有一个质量均匀分布的光滑圆环（不固定），圆环的右侧开一个小孔（引起的质量损失忽略不计）。有一个小球P从小口进入圆环，速度与径向夹角为$\phi$。问$\phi$取何值的时候，小球可以在圆里面兜圈子，最后还从小孔出去？
解答：
碰撞的时候，切向速度保留。
这道题目并没有给出质量，我们可以利用相对速度大小来求解。因为相对速度大小不变，碰撞后相对于圆环的运动与固定圆环不动时碰撞后的运动相同（类似于光的反射）
因此，$\phi$ 需要为正多边形对应的角度，包括$\phi=0$
