牛顿定律与动量定理

牛顿定律

适用范围：宏观世界，低速（v<<c）

牛顿第一定律

内容:每个物体都会保持静止状态，或匀速直线运动，除非它被施加在其上的力改变这种运动状态。

惯性系：牛顿第一定律成立的参考系，否则为非惯性系

牛顿第二定律

内容：$\vec{F}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}$ m为不变量

或者可以写为：$\vec{F}=m\vec{a}$ m为惯性质量，F为物体所受的外力

牛顿第三定律

相互作用力是径向力

相互作用力

基本的相互作用

万有引力相互作用

电相互作用

弱电作用

强相互作用&弱相互作用

常见的力

重力

来源于万有引力

弹力、摩擦力、浮力

来源于电作用力

力学相对性原理

在所有惯性系中，力学定律有相同的表达形式

惯性力

在惯性系中，$F_真=ma$，但在非惯性系中并非如此

于是我们构造出$F_虚（惯性力）$

平动加速非惯性系S’

$\vec{a’}=\vec{a}+(-\vec{a_0})$

$\vec{F’}=\vec{F真}+\vec{F惯}$

平移惯性力$\vec{F_惯}=-m\vec{a_0}$

例子：类重力（考虑向前加速的车厢）

例子：潮汐现象

二体系统与约化质量

S系统由A，B构成，A、B之间有相互作用力$\vec{F_A}\vec{F_B}$

S系中$\vec{F_A}+\vec{F_B}=0$ $\vec{a_A}=\frac{\vec{F_A}}{m_A}$

构造A系，随着A相对S系统作平动的参考系，讨论B的运动，即B相对A的运动。

$m_B\vec{a_B’}=\vec{F_B}+m_B(-\vec{a_A})$，此时代入$\vec{a_A}$

得到$m_B\vec{a_B’}=\frac{m_A+m_B}{m_A}\vec{F_B}$

$\vec{F_B}=\frac{m_Am_B}{m_A+m_B}\vec{a_B’}$ 类牛顿第二定律，没有惯性力

称$\mu=\frac{m_Am_B}{m_A+m_B}$为约化质量

惯性离心力

S’系是一个匀速定轴旋转的非惯性系

如果m相对S’静止，则$\vec{a’}=0,\vec{a}=-\omega^2r$

S系：$\vec{F_真}=m\vec{a}=-m\omega^2r$

S’系:$\vec{F’}=m\vec{a’}=0$ 惯性离心力即是抵消真实力的虚拟力

$\vec{F_c}=m\omega^2\vec{r}$

惯性离心力是由质点在S’系的位置确定，背向圆心。

类似于胡克力，$F_x=-kx$，$E_p(x)=\frac{1}{2}kx^2$

如果我们选取r=0点位“势能零点”则有$E_p(r)=-\frac{1}{2}m\omega^2r^2$，称之为离心势能

科里奥利力

假设质点M相对S系静止 $\vec{a}=0$

在S’系中。m正在旋转，$\vec{a’}=-\omega^2\vec{r}$

S系中:$\vec{F_真}=m\vec{a}=0$

S’系中:$\vec{F’}=m\vec{a’}=-m\omega^2\vec{r}=\vec{F真}+\vec{F_c}+\vec{F{cor}}$

$\vec{F_{cor}}=-2m\omega^2\vec{r}$ 方向指向圆心

科里奥利力由质点相对S’系运动而形成

改造：$\vec{F_{cor}}=2m\vec{v’}\times\vec{\omega}$(角速度方向用右手螺旋判断，指向纸外或者指向纸内)

因为力的方向与运动方向总是垂直的，我们可以看出科里奥利力总是不做功的，类似于洛伦兹力

实例：傅科摆验证地球自转

如果是轴向运动，因为$\vec{v轴}与\vec{\omega}平行$，所以此时$\vec{F{cor}}=0$

动量定理

引入：$d\vec{I}=\vec{F}dt$ 冲量元 $\vec{P}=m\vec{v}$

$d\vec{I}=d\vec{P}$ 质点动量定理的微分式

$\vec{I}=\int_{\Delta t}d\vec{I}$ 冲量

$\vec{I}=\Delta \vec{P}$ 质点动量定理的积分式

非惯性系的质点动量定理：$\vec{dI真}+\vec{dI惯}=\vec{dP}$

质点系动量定理

质点系动量$\vec{P}=\Sigma_{i}\vec{P_i}$

外力提供的冲量形式等于质点系总动量增加量 $d\vec{P}=d\vec{I_外}$

$\vec{F_{合外}}=\frac{d\vec{P}}{dt}$

非惯性系的质点系动量定理$d\vec{I外}+d\vec{I惯}=\vec{dP}$

动量守恒定理

整体守恒:过程中恒有合外力为零，则过程中动量守恒

分量守恒：如果过程中恒有合外力在某一个分量上为零，则过程中有在该分量守恒

变质量物体的平动

增质型

例子：下落的雨滴

假设原来为m，受力$\vec{F}$，速度$\vec{v}$

增加为dm。受力$\vec{dF}$，速度$\vec{v’}$

经过dt时间二者缩合变成m+dm，速度为$\vec{v}+\vec{dv}$

$(\vec{F}+d\vec{F})dt=(m+dm)(\vec{v}+d\vec{v})-m\vec{v}-dm\vec{v’}$

$\vec{F}=m\frac{\vec{dv}}{dt}+(\vec{v}-\vec{v’})\frac{dm}{dt}$

特例：$\vec{v’}=0$

则$\vec{F}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}$

减质型

例子：火箭

假设原来为m，受力$\vec{F}$，速度$\vec{v}$

减少量为dm（负数）受力$\vec{dF}$，速度$\vec{v’}$

经过dt时间原来的物体质量变成m+dm，速度为$\vec{v}+\vec{dv}$

$\vec{F}dt=(m+dm)(\vec{v}+\vec{dv})+(-dm)\vec{v’}-m\vec{v}$

$\vec{F}=m\frac{\vec{dv}}{dt}+(\vec{v}-\vec{v’})\frac{dm}{dt}$(同上)

引入：分离速度$\vec{u}=\vec{v}-\vec{v’}$

于是$\vec{F}=m\frac{\vec{dv}}{dt}+\vec{u}\frac{dm}{dt}$(同上)

题目

题1

1、讨论半圆圆周轻绳中的张力分布（可以看成轻绳绕理想滑轮，无摩擦）

切向的力平衡关系$T(\theta)cos\frac{d\theta}{2}=T(\theta+d\theta)cos\frac{d\theta}{2}$

因此张力是一个常量

2、讨论$n=\frac{dN}{dl}$的大小

$dN=T(\theta+d\theta)sin\frac{d\theta}{2}+T(\theta)sin\frac{d\theta}{2}$

运用小量近似可以看出$\frac{dN}{d\theta}=T$

因此$n=\frac{T}{R}$ 是一个常量！

题2

动力学方程

$对m_1:T-Tcos\alpha=m_1a_1$

$对m_2:竖直方向m_2g-Tsin\alpha=m_2a_2sin\alpha$

$水平方向Tcos\alpha=m_2(a_1-a_2cos\alpha)$

运动关联:$m_2沿着绳子伸长的大小=m_1向左的大小$

因此$a_1=a_2$

最终解出$\alpha=arccos{\frac{1}{2}(k+2-\sqrt{k(k+1)})}$

$k=\frac{m_1}{m_2}$

题3

竖直平面上有一半径(R)的固定光滑大圆环，环上套的小珠从最低处以水平初速率$v_0$向上运动，则可知当$v_0\geq\sqrt{4Rg}$时，小珠可到达环的最高点。

将一小珠套在半径(R)的水平光滑大圆环上，环绕着过其边缘点(A)的固定竖直轴以角速度(\omega)沿逆时针方向匀速旋转。开始时小珠在(A)的对径点上，沿着逆时针方向相对环以初速率$v_0$运动，试问$v_0$取何值时小珠能到达(A)点？

取圆环参考系，注意惯性离心力的方向！

引入惯性离心势能，注意到科里奥利力不做功

$0+0=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}m\omega^2(2R)^2$

$v_0\geq 2\omega R$

题4

竖直上抛一个小球，已知空气阻力$\vec{f}=-\gamma \vec{v}$，求过程时间t

取向上为正方向，假设初速度大小$v_1$末速度大小$v_2$

$-mv2-mv_1=-mgt+\int{0}^{t上}-\gamma v dt+\int{t_上}^{t}\gamma v dt$

注意到两个积分和=0

所以$t=\frac{v_1+v_2}{g}$

题5

质量 M 的匀质细软绳，下端恰好与水平地面接触，上端用手提住，使绳处于静止伸直状态。而后松手，绳自由下落，试求绳落下 ( l < L ) 长度段的时刻地面所受正压力大小 ( N )。

解答：

$N_1=\frac{l}{L}Mg$

$v=\sqrt{2gl}$

$\frac{vdt}{L}Mv=N_2dt$

$N_2=\frac{M}{L}v^2=2\frac{l}{L}Mg$

$N=N_1+N_2=3\frac{l}{L}Mg$

题6

假设虫子的初速度是$v_m$，杆的初速度是$v_M$

在小虫刚开始向上爬的极短的时间内，小虫与杆构成的系统动量守恒 $mv_m=Mv_M$

相对速度：$v=v_m+v_M$

我们需要约束，小虫到容器最上面的时候，细杆顶端也到容器最上面

假设t时间段 $\frac{L}{2}=v_Mt+\frac{1}{2}gt^2$

$L=vt$

题7

火箭初始质量为$m_0$，其中液体燃料质量$m_l$，自地面竖直向上发射，重力加速度近似取成常量g，略去阻力。设火箭在单位时间向下喷出的液体燃料质量为$\alpha$，喷射速度为常量$u_0$，试求燃料喷尽时火箭的速度$v_c$。

解答：取向上为正方向

$-mg=m\frac{dv}{dt}+u_0（-\alpha）$

$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dm}\frac{dm}{dt}$

$\frac{dm}{dt}=-\alpha$

$-mg=-\alpha m\frac{dv}{dm}-\alpha u_0$

$\int{0}^{v_c}dv=\int{m_0}^{m_c}(\frac{g}{\alpha}-\frac{u_0}{m})dm$

$v_c=u_0ln^{\frac{m_0}{m_0-m_l}}-\frac{m_lg}{\alpha}$